Trapèze

Le trapèze, son origine, sa représentation, ses significations, ses symboles en géométrie sacrée et ses bienfaits

Qu’est-ce qu’un trapèze ?

Les trapèzes sont des quadrilatères ayant des côtés opposés qui sont parallèles, et ces côtés parallèles sont connus comme les bases. Ainsi, dans la figure, les quadrilatères ABCD et ABDC sont tous deux des trapèzes, étant donné que leurs côtés (AB) et (CD) sont parallèles. Certains auteurs ajoutent une condition supplémentaire de convexité du quadrilatère, ce qui exclut les trapèzes croisés comme ABDC.

Si un quadrilatère convexe possède une paire d’angles consécutifs dont la somme est égale à 180° (π radians), alors il est un trapèze. Dans ce cas, la somme des deux autres angles consécutifs est également égale à cette même valeur. Par exemple, dans la figure ci-dessus, les deux paires d’angles (A,D) et (B,C) ont cette propriété. Cependant, il convient de noter que la somme de deux angles consécutifs n’est pas toujours égale à 180° (comme c’est le cas pour les angles de sommets A et B dans l’exemple donné).

Les cas particuliers du trapèze

Il existe plusieurs cas particuliers de trapèzes :

• Un trapèze est qualifié de trapèze rectangle s’il a au moins un angle droit (ce qui signifie qu’il en a alors au moins deux consécutifs).
• Un trapèze est qualifié d’isocèle dans les situations suivantes qui sont équivalentes :
  • Deux angles adjacents à une même base sont égaux.
  • Les deux bases du trapèze ont la même médiatrice, qui est également un axe de symétrie du trapèze.
  • Le trapèze est un quadrilatère inscriptible (c’est-à-dire que ses sommets sont cocycliques).
  • Dans le cas où les deux bases du trapèze ont la même longueur, le trapèze est un parallélogramme, c’est-à-dire que ses deux autres côtés sont également parallèles. Les trapèzes dont les deux côtés qui ne sont pas les bases ont même longueur sont soit des trapèzes isocèles, soit des parallélogrammes.
  • Les trapèzes qui sont à la fois des trapèzes isocèles et des parallélogrammes sont des rectangles.
• Un trapèze est appelé trapèze circonscriptible s’il est un quadrilatère circonscriptible (c’est-à-dire qu’il possède un cercle inscrit).

L’aire du trapèze

La formule de l’aire du trapèze est obtenue en découpant le trapèze en deux triangles ayant pour hauteur h et chacun une des deux bases a et c, et en faisant le produit de sa hauteur par la demi-somme de ses bases. Ainsi, l’aire S vaut (a + c) / 2 x h. On peut aussi calculer l’aire du trapèze en considérant le rectangle construit à partir des milieux des côtés, qui a la même aire que le trapèze. En effet, la longueur IJ du rectangle est égale à la demi-somme des bases a et c, donc (a + c) / 2, et sa hauteur est la hauteur h du trapèze. Ainsi, l’aire S est égale à IJ x h, soit également (a + c) / 2 x h.

La formule de l’aire du trapèze peut être exprimée en fonction des longueurs de ses côtés. Elle équivaut à l’aire d’un triangle dont les côtés mesurent |a-c|, b et d, multipliée par (a+c)/(a-c). Cette formule peut être obtenue à partir de la formule de Héron, et elle permet de calculer l’aire du trapèze lorsque les longueurs des quatre côtés a, b, c et d sont connues.

 

Si l’on note a et c les longueurs des deux bases du trapèze (qui sont supposées distinctes), alors l’aire S du trapèze peut être calculée à l’aide de la formule suivante :

S = (a+c)/|a-c| * 1/4 * √[(|a-c|+b+d)(|a-c|+b-d)(|a-c|-b+d)(-|a-c|+b+d)]

La démonstration repose sur l’expression de la hauteur h en fonction des longueurs des côtés, qui s’écrit :

h^2 = [(|a-c|+b+d)(|a-c|+b-d)(|a-c|-b+d)(-|a-c|+b+d)] / 4(a-c)^2

Le barycentre du trapèze

Pour trouver le centre de masse G d’un trapèze de bases a et b et de hauteur h, il suffit de tracer la médiane reliant les deux bases et de se positionner à une distance h/3 x ((a+2b)/(a+b)) de la base de longueur a. Le centre de masse G est donc le barycentre des milieux Ia et Ib, pondérés respectivement par (2b+a)/(2a+b) et (2a+b)/(2b+a). La droite passant par le centre de masse et parallèle aux bases découpe un segment dont la longueur correspond à la centroidal mean (moyenne barycentrique) des deux bases : MN = (2(a² + ab + b²))/(3(a+b)).

L’isobarycentre des quatre sommets du trapèze se trouve, quant à lui, au milieu de la médiane. Le segment découpé sur la parallèle aux bases passant par cet isobarycentre a pour longueur la moyenne arithmétique des deux bases.

Les diagonales du trapèze

Supposons à nouveau que les deux bases a et c sont distinctes. Les diagonales p et q sont liées aux quatre côtés par les formules :

p² = ac + (ad² – cb²)/(a-c), et q² = ac + (ab² – cd²)/(a-c),

qui sont équivalentes à :

p² + q² = 2(ac + bd),

et (a-b+c-d)(p²-q²) = (b+d-a-c)(b+d+a+c-2\sqrt{ac}\sqrt{bd}).

Ces deux formules permettent de retrouver les deux bases du trapèze précédent, si celui-ci n’est ni isocèle ni réduit à un triangle, connaissant les deux autres côtés et les diagonales. En effet, dans ce cas, les formules sont équivalentes à :

a² = ((p²-b²)² – (q²-d²)²)/(2(p²+b²-q²-d²)), et c² = ((p²-d²)² – (q²-b²)²)/(2(p²+d²-q²-b²)).

Le segment découpé par les côtés sur la parallèle aux bases passant par l’intersection des diagonales a pour longueur la moyenne harmonique des deux bases.

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Le théorème du trapèze

Le théorème du trapèze stipule que dans un trapèze ABCD, la droite passant par les points d’intersection des côtés non parallèles (AD) et (BC) au point d’intersection des diagonales (AC) et (BD) passe par les milieux respectifs des côtés parallèles [AB] et [CD], notés I et J. Le quadrilatère est un trapèze si et seulement si I appartient à (OP) ou si J appartient à cette droite, et dans ce cas, les quatre points (O, P, I, J) sont en division harmonique.

La démonstration de ce théorème peut être effectuée à l’aide de la méthode des trapèzes, qui est une méthode de calcul intégral approché consistant à remplacer les arcs de courbe successifs par des segments. Cette méthode est plus précise que la méthode des rectangles, également appelée sommes de Riemann, qui consiste à remplacer la fonction donnée par une fonction en escalier.

Le muscle trapèze

Le muscle le plus souvent concerné par des maux au niveau du dos est le trapèze, qui présente une tension particulièrement forte le long de la clavicule, autour des omoplates et sur sa partie ascendante qui relie le milieu du dos. En résumé, le trapèze est un nœud de tension !

Afin de comprendre pourquoi cette zone du dos accumule autant de tensions, il convient d’examiner de plus près l’anatomie de ce muscle. Voici une définition extraite de « Biologie humaine, principes d’anatomie et de physiologie » d’Elaine N. Marieb, 8e édition :

Le muscle trapèze est le muscle postérieur le plus superficiel du cou et de la partie supérieure du tronc. Les deux muscles trapèzes, pris ensemble, forment une masse musculaire en forme de diamant ou de cerf-volant. Chacun possède une origine très large, qui s’étend de l’os occipital du crâne aux dernières vertèbres thoraciques, avant de se diviser pour s’insérer sur l’épine scapulaire et la clavicule. Le muscle trapèze est responsable de l’extension de la tête (il est donc l’antagoniste du sterno-cléido-mastoïdien), et participe également à la rétraction, l’adduction et la stabilisation de la scapula. Bien que composé de trois faisceaux orientés dans des directions différentes et innervé par plusieurs nerfs, le muscle trapèze peut étonnamment à la fois lever et abaisser les épaules.

Il est bon de rappeler que les muscles sont en partie responsables du mouvement du corps, servant de levier pour actionner les os, qui sont à leur tour mobilisés. Le système nerveux participe également à la création de mouvement. Le muscle trapèze est innervé par le nerf accessoire (11ème paire crânienne) pour son faisceau supérieur, et le nerf du trapèze (racines cervicales C2-C4) pour les faisceaux moyen et inférieur. Ainsi, grâce au trapèze, nous pouvons pencher la tête en avant ou en arrière, et lever ou baisser les épaules.

Quel est le langage corporel du trapèze ?

Le langage corporel est une expression de nos émotions qui se manifeste à travers notre corps. Lorsque nous éprouvons de la joie, notre corps est détendu et fonctionne de manière optimale. En revanche, si nous cherchons à dissimuler nos émotions, cela peut entraîner des crispations dans certaines parties du corps, créant ainsi un conflit intérieur souvent inconscient.

Chacun d’entre nous a son propre vécu et ses propres émotions, mais celles-ci sont universelles et partagées par tous. Il est intéressant d’observer comment notre corps réagit à nos émotions et comment celles-ci peuvent influencer notre posture et notre ressenti.

Par exemple, lorsque nous ressentons un conflit intérieur, cela peut se manifester par des tensions dans des muscles comme le trapèze ou le sternocléidomastoïdien. Il est important de prendre conscience de ces manifestations corporelles pour mieux comprendre nos émotions et les gérer de manière efficace.

À quel chakra le trapèze s’associe-t-il ?

Ce muscle est associé à quel chakra ? Petit rappel : Les médecines ancestrales, comme l’Ayurveda, enseignent que nous possédons des centres énergétiques appelés « chakras », qui ont des fonctions physiologiques et psycho-émotionnelles précises. Le bon fonctionnement de ces centres nous assure une bonne santé physique, psychique et émotionnelle. La racine des chakras est située sur la colonne vertébrale : le premier chakra, Muladhara, se trouve au coccyx, le deuxième, Swadhisthana, au sacrum, le troisième, Manipura, aux lombaires, le quatrième, Anahata, à la dorsale, le cinquième, Vishudhi, à la cervicale, le sixième, Ajna, à l’atlas, et le septième, Sahasrara, à la fontanelle. En regardant ce muscle d’un point de vue énergétique, nous pouvons constater qu’il est attaché à la dernière dorsale, qui est voisine de la racine du plexus solaire (Manipura) et du chakra du cœur (Anahata), ainsi qu’à l’épaule et les cervicales au niveau du chakra de la gorge (Vishudhi).

Le chakra Manipura, situé au niveau du sternum, gouverne le système digestif, le métabolisme, la vue, l’intellect et la capacité de jugement. Il est associé à l’élément FEU, qui a la faculté de transformer les choses. Tout ce que nous ingérons se transforme en énergie grâce à ce chakra, qui est également le centre de notre individualité et de notre EGO, ainsi que le siège de nos ancrages, schémas de pensées et croyances. Manipura est le chakra le plus sensible et le plus influençable de tous, concentrant toutes les tensions physiques et émotionnelles. Les dysfonctionnements de Manipura engendrent la passivité, l’égoïsme, le jugement, le désespoir, la froideur dans les relations, le manque d’empathie, l’incapacité à pardonner, la rancune, l’incapacité à prendre du recul, la rigidité mentale, la tendance à se concentrer sur les problèmes plutôt que sur les solutions, la nervosité, la dispersion énergétique, les perturbations digestives, les douleurs articulaires et la crispation au niveau de l’attache du trapèze. La peur du manque de respect ou de dignité, la peur de l’échec et le besoin de reconnaissance sont également associés à Manipura.

Anahata, quant à lui, est situé dans la région du cœur et régule les fonctions de cet organe, ainsi que la circulation sanguine, la partie inférieure des poumons, le thorax et le système neurovégétatif. Anahata est associé à l’élément AIR, qui effleure la peau et permet de sentir sans voir ni entendre. Le cœur est lié au toucher et à la capacité de sentir.

Comment apaiser les tensions du muscle trapèze ?

Pour libérer les tensions du trapèze, j’utilise souvent trois huiles essentielles riches en aldéhydes et sesquiterpènes : le myrte citronné, l’encens et l’élémi. Ces huiles essentielles agissent comme des messagers de la nature pour aider à libérer les nœuds et les tensions dans le muscle du trapèze, au-delà de la simple douleur.

Cependant, il est important de comprendre que la douleur peut être liée à des peurs, des émotions ou des pensées qui tournent en boucle dans notre tête. Pour soulager cette douleur, il est essentiel de reconnecter l’esprit au corps afin que l’énergie puisse circuler à nouveau. Lorsque l’énergie circule, la douleur disparaît.

Bien que des huiles essentielles telles que la Gaulthérie ou l’Eucalyptus citronné puissent également aider à soulager les douleurs dorsales, mon expérience montre que ces huiles ne suffisent pas toujours à faire la différence.

L’élémi, par exemple, est connu pour soutenir ceux qui se sentent dispersés en aidant à se recentrer et à réaligner les chakras. Il peut également aider à découvrir des émotions et des sentiments enfouis et à développer la capacité d’expression verbale. Associé au 5ème chakra, Vishudhi, l’élémi peut aider à apaiser le stress et la nervosité chronique, ainsi qu’à renforcer la volonté.

L’encens indien, quant à lui, peut aider à dissoudre les schémas de rigidité mentale, les obsessions, la tension et la fatigue nerveuse. Il peut également aider à établir le lien avec le moi supérieur et à communiquer et transmettre des idées. Associé aux chakras supérieurs, l’encens indien peut aider à apaiser le stress, l’irritabilité et les soucis.

Le myrte citronné peut également être utile pour libérer les tensions du trapèze. Il peut aider à apaiser les colères soudaines et à faire face aux conflits intérieurs. Il peut également aider à se libérer d’une situation sans issue et à transformer une attitude combative et défensive en une attitude plus coopérative et flexible. Associé au 3ème chakra, Manipura, le myrte citronné peut aider à s’exprimer de manière constructive et sans agressivité.

En réduisant la rigidité, en apaisant les pensées et les émotions, le corps peut se reconnecter à l’esprit et l’âme peut se manifester en toute sérénité. Cela peut nous aider à avancer sans peur, à retrouver la joie et à détendre notre muscle trapèze pour retrouver notre sentiment de liberté.