Sphère

La sphère, son origine, sa représentation, ses significations, ses symboles en géométrie sacrée et ses bienfaits

Qu’est-ce qu’une sphère ?

En géométrie tridimensionnelle, une sphère est un ensemble de points qui se trouvent à égale distance d’un point central appelé le centre. La distance du centre à n’importe quel point sur la sphère est appelée le rayon de la sphère. L’étude des propriétés des sphères est appelée la géométrie sphérique. On peut approximer la surface de la Terre par une sphère ayant un rayon d’environ 6 371 km.

En mathématiques, une sphère dans un espace métrique est un ensemble de points qui se trouvent à égale distance d’un point central. Les sphères peuvent avoir une forme différente de la sphère traditionnelle. Une sphère peut également être un ellipsoïde dégénéré. Une boule est une sphère pleine dont la distance de tous les points du centre est inférieure ou égale au rayon.

Qu’est-ce que la sphère euclidienne ?

Pendant une longue période, le terme « sphère » a été utilisé couramment pour désigner à la fois la surface et le solide qu’elle englobe. De nos jours, le terme « sphère » est exclusivement utilisé pour décrire la surface, tandis que le solide est appelé « boule ».

D’autres termes nécessitent d’être précisés :

• Deux points antipodaux sont des points opposés diamétralement sur la sphère. Sur la sphère terrestre, ce sont les pôles.
• Une zone sphérique est la partie de la sphère comprise entre deux plans parallèles.
• Une calotte sphérique est une zone sphérique dans laquelle l’un des plans est tangent à la sphère.
• Un segment sphérique est un solide délimité par deux plans parallèles et la zone sphérique qu’ils déterminent.
• Un fuseau sphérique est une figure tracée sur la sphère par deux demi-grands cercles ayant les mêmes extrémités.
• Un onglet sphérique est un solide découpé dans une boule par un dièdre, comme un quartier d’orange.
• Un triangle sphérique est une figure tracée sur la sphère formée de trois points reliés par des arcs de demi-grands cercles.
• Un polygone sphérique est une figure tracée sur une sphère, formée par plusieurs points reliés par des arcs de grands cercles.
• Un secteur sphérique est un solide délimité par une calotte sphérique et le cône circulaire engendré par les demi-droites d’origine le centre du cercle et s’appuyant sur la calotte sphérique.
• Un grand cercle est un cercle tracé sur la sphère ayant le même rayon que la sphère elle-même. Il passe toujours par deux points antipodaux. Les méridiens de la sphère terrestre sont des grands cercles. Les parallèles sont également des cercles tracés sur la sphère, mais leurs rayons sont généralement plus petits que celui de la sphère, donc ce ne sont pas des grands cercles.

Les équations de la sphère

Les équations de la sphère sont données en fonction de son centre (x0, y0, z0) et de son rayon r. En utilisant un repère orthonormé, une sphère de centre (x0, y0, z0) et de rayon r peut être définie comme l’ensemble des points (x, y, z) satisfaisant l’équation : (x – x0)² + (y – y0)² + (z – z0)² = r²

C’est une équation de la forme : (x – a)² + (y – b)² + (z – c)² = r² où (a, b, c) sont les coordonnées du centre de la sphère.

Les formules de la sphère

• Aire de la sphère de rayon r : 4πr²
• Volume de la sphère de rayon r : (4/3)πr³
• Compacité de la sphère de rayon r : la compacité d’une sphère est de 1, ce qui signifie que c’est la forme la plus compacte possible pour un objet de volume donné.
• Moment d’inertie d’une sphère homogène de masse M et de rayon R par rapport à un axe passant par son centre : (2/5)MR². Le moment d’inertie est une mesure de la résistance d’un objet à la rotation autour d’un axe spécifique.

Lorsqu’on se place dans les coordonnées latitude-longitude (λ – φ) pour une sphère de rayon r, l’élément d’aire correspondant est donné par la formule ds = r² cos λ dλ dφ. Cette formule permet de calculer l’aire d’un fuseau, c’est-à-dire une portion de sphère limitée par deux demi-cercles joignant les pôles et formant un angle α exprimé en radians. L’aire d’un tel fuseau est alors égale à 2α r².

On peut également utiliser cette formule pour calculer l’aire d’une zone sphérique, c’est-à-dire une portion de sphère limitée par deux plans parallèles qui l’intersectent ou lui sont tangents. Dans ce cas, l’aire est égale à 2πrh, où h est la distance entre les deux plans. Cette formule permet de démontrer un résultat remarquable d’Archimède, qui montre que l’aire d’une zone sphérique est la même que celle d’un cylindre circulaire de même hauteur tangent à la sphère (cylindre circonscrit). Ce résultat a tellement marqué Archimède qu’il aurait demandé que cette découverte soit gravée sur son tombeau.

Le volume du cylindre circonscrit à une sphère donnée est égal à 1,5 fois le volume de la sphère.

Enfin, la sphère est la forme qui a la plus petite aire parmi toutes les surfaces renfermant un volume donné, et elle renferme le volume le plus élevé parmi toutes les surfaces d’une aire donnée. C’est pour cette raison que la sphère est une forme très présente dans la nature, comme dans le cas des bulles ou des gouttes d’eau qui sont des sphères en l’absence de gravité, car la tension superficielle cherche à minimiser l’aire.

La sphère circonscrite au tétraèdre

Il existe une sphère unique, appelée sphère circonscrite, qui passe par les quatre points A, B, C et D non coplanaires formant un tétraèdre non aplati (ABCD). Au centre de cette sphère, les six plans médiateurs des arêtes du tétraèdre se croisent.

Il est démontré que la sphère est une surface qui ne peut pas être développée. Par conséquent, il n’y a pas de modèle plat de la sphère. Toutefois, il est possible d’obtenir des surfaces qui approchent la sphère de manière très fidèle en pratique, comme c’est le cas pour tous les ballons cousus. Les ballons de football (qui ont une forme d’icosaèdre tronqué), les ballons de volley-ball et les ballons fantaisie (qui ont une forme de fuseaux de pôle à pôle) sont des exemples de ces surfaces développables. Il est important de noter que la pression interne courbe ces surfaces et les rapproche de la perfection. Ainsi, plus le ballon est gonflé, plus il se rapproche de la sphère idéale.

 

Que sont les sphères euclidiennes de dimensions supérieures ?

Le concept de sphère peut être généralisé à un espace de dimension entière quelconque. Pour tout entier naturel n, une n-sphère de rayon r est l’ensemble des points de l’espace euclidien à (n+1) dimensions qui sont à une distance fixée r d’un point de cet espace (r est un réel strictement positif). Par exemple :

• une 0-sphère est la paire des points extrémités de l’intervalle [−r, r] de la ligne réelle ;
• une 1-sphère est un cercle de rayon r ;
• une 2-sphère est une sphère ordinaire.

Les sphères de dimension n > 2 sont parfois appelées hypersphères. On note Sn la n-sphère de rayon 1.

L’aire d’une (n-1)-sphère de rayon r peut être calculée en utilisant la formule suivante :

A = 2π^(n/2) * r^(n-1) / Γ(n/2)

où Γ représente la fonction gamma.

En utilisant cette formule, vous pouvez calculer l’aire de toute (n-1)-sphère de rayon r, où n est le nombre de dimensions de la sphère. Par exemple, pour une sphère à trois dimensions (une sphère normale dans l’espace tridimensionnel), n=3, donc l’aire serait de :

A = 2π^(3/2) * r^2 / Γ(3/2)

L’espace topologique de la sphère

En topologie, le terme « sphère » (ou « n-sphère » pour rappeler la dimension) peut désigner tout espace topologique homéomorphe à une n-sphère selon la définition donnée dans la section précédente. Si n est pair, la caractéristique d’Euler d’une n-sphère est de 2, et si n est impair, elle est de 0.

La primitive géométrique de la sphère

La sphère est largement utilisée comme primitive géométrique dans les logiciels de CAO ou d’infographie tels que Blender. L’utilisateur peut préciser les caractéristiques du maillage utilisé pour la représenter en ajustant sa finesse.

L’origine de la sphère

La sphère est la forme géométrique la plus globale et la moins différenciée, et elle représente une image évidente du cosmos, avec un symbolisme ésotérique particulièrement riche.

La sphère est liée :

• Au cercle, symbole du divin et du céleste. La sphère représente encore mieux que le cercle l’unité, l’harmonie, l’infini et le domaine de l’esprit.
• Au cube, symbole de la perfection du monde manifesté. La sphère est moins concrète mais plus « dynamique » que le cube.

Pertinente dans le domaine de l’abstrait, la sphère précède le cube. Elle crée un espace neutre et indifférencié qui contient toutes les potentialités : elle englobe toutes les autres formes et figures géométriques.

La sphère est également le symbole de l’unité cosmique. En tant que figure sacrée, elle reflète le Principe dans son intention créatrice, alors que le cube évoque la réalisation concrète.

Significations et symboles de la sphère

Le monde et la perfection

Le symbolisme associé à la sphère est semblable à celui du cercle. Elle est considérée comme un symbole de perfection et de représentation de l’espace et du monde. La sphère représente un ensemble parfait et cohérent, évoquant un monde clos et hermétique, tout comme une femme enceinte. La sphère est donc perçue comme une forme féminine, symbole de plénitude et de finitude. De plus, le concept de sphère d’influence est lié à sa gravitation.

En 3D, les déplacements s’ajoutent à l’idée d’histoire et de mémoire. Les rêves de sphère sont très rares, car ils symbolisent l’atteinte de la perfection et la prise de conscience totale.

La sphère : symbole du mouvement

La sphère incarne avant tout le mouvement, contrairement à la stabilité du cube. Elle évoque la rotation, le changement, les cycles, ainsi que les énergies enchevêtrées, comme dans la représentation du taijitu, symbole du yin et du yang. Cependant, la sphère apparaît comme instable, car rien ne semble capable de stopper son mouvement.

Le centre de la sphère

La sphère est une forme géométrique globale et moins différenciée qui possède un symbolisme ésotérique particulièrement riche. Elle est en relation avec le cercle, symbole du divin et du céleste, exprimant mieux l’unité, l’harmonie, l’infini et le domaine de l’esprit. La sphère est également en relation avec le cube, symbole de la perfection du monde manifesté, mais moins concrète et plus dynamique que le cube.

En tant que symbole de l’unité cosmique, la sphère est la figure sacrée qui reflète le Principe dans son intention créatrice, tandis que le cube évoque la réalisation concrète. La sphère est indissociable de la genèse du monde, symbolisant l’œuf cosmique qui contient toutes les potentialités de différenciation.

La sphère est aussi l’expression du mouvement, évoquant la rotation, le changement, les cycles et les énergies qui s’entremêlent. Elle peut paraître instable car rien ne semble pouvoir arrêter son mouvement.

Comme le tao du taoïsme, la sphère est féminine et féconde, donnant naissance à toute chose concrète. Elle est associée au ventre maternel, à l’œuf, à l’embryon, à la cellule et au fruit, symbolisant la vie qui ne demande qu’à éclore et à s’épanouir.

La sphère est l’intermédiaire entre le point, source cachée sans épaisseur et inexistante, et le cube qui est la parole différenciée et évoque la cristallisation, la structure et la forme. Ainsi, la sphère est l’intermédiaire entre l’infini et le fini, le non-être et l’être.

Le déploiement de la sphère évoque une naissance, synonyme de vie et de conscience, celle du cosmos en tant qu’espace unitaire et ordonné. Elle peut être vue comme une image de Dieu en tant qu’être créateur, reliant ainsi matière et esprit.

La sphère : symbole de l’amour

L’essence de la sphère réside dans son caractère globalisant qui ne fait aucune distinction ni jugement entre les objets et les formes qu’elle renferme. Elle est représentative de l’Amour et de l’accueil inconditionnel de toute chose en son sein.

Depuis son centre originel, elle répand la diversité qui est unie dans l’unité. La sphère nous rappelle que chaque être, chaque chose provient de la même source et évolue dans un environnement commun. Nous faisons partie d’un ensemble universel où toute notion de séparation est une illusion.

En d’autres termes, la sphère symbolise l’espace qui reconnaît la solidarité entre toutes les choses (la sympatheia stoïcienne) et la présence du Principe créateur en chaque élément.

La sphère : des astres à l’atome

La sphère est présente dans diverses cosmogonies anciennes, notamment en Grèce, ainsi que dans des approches plus tardives comme dans l’Islam. Selon ces différentes perspectives, l’univers serait constitué de plusieurs sphères concentriques.

Pour Aristote, le cosmos serait une sphère composée d’éther ou de quintessence, considérée comme le cinquième élément. Cette quintessence, matière cosmique incorruptible et intangible, formerait le ciment de l’univers. Pour Pythagore, son statut serait supérieur à celui des autres éléments.

Le symbolisme de la sphère est étroitement lié à celui de l’atome et des astres. La représentation du globe terrestre nous permet de prendre conscience de l’unité de notre monde, tandis que les atomes peuvent être perçus comme un mini-univers, leurs électrons tournant autour du noyau central. Ainsi, l’infiniment petit rejoindrait l’infiniment grand, le microcosme serait une image du macrocosme.

L’homme et la sphère

La sphère, chez l’homme, est associée à la tête, qui incarne le cerveau, l’esprit, et se situe à mi-chemin entre le Ciel et la Terre (représentant le corps). De plus, la sphère est liée à l’œil, qui symbolise la connaissance, la conscience et la spiritualité. C’est le troisième œil, également appelé l’œil omniscient.

La sphère : symbole de la beauté

La beauté, la perfection et l’harmonie, sont les valeurs les plus nobles évoquant la vie, et la sphère en est le symbole ultime.

Sa beauté provient du fait que tous les points de sa surface sont équidistants de son centre. Elle possède une infinité d’axes de symétrie, où la symétrie n’engendre pas de division mais plutôt une union. Enfin, la sphère rappelle la perle, emblème de la beauté, de l’amour et de la femme.

Sphères séphirotiques

Le concept de l’arbre de vie séphirotique implique la présence de 10 sphères, chacune représentant un aspect de la réalité.

Chacune de ces sphères est considérée comme une force créative, une dimension de la manifestation divine ou une qualité de Dieu. Chaque sphère est associée à un « monde » cohérent.

La sphère en franc-maçonnerie

Le caractère « double » ou intermédiaire de la sphère est présent en franc-maçonnerie du fait de sa relation à la géométrie et à l’astronomie. Au grade de compagnon, les sphères terrestre et céleste surmontent les colonnes représentées sur le tableau de loge, symbolisant le ciel étoilé et le zodiaque. Ainsi, la sphère représente à la fois la Terre et le Ciel, et leur correspondance évoque l’équivalence entre le macrocosme et le microcosme.

Il convient de noter que dans la théorie des Sept planètes ou Sept sphères en alchimie, chaque sphère correspond à une planète, un métal et un trait de caractère, décrivant ainsi le parcours personnel vers l’atteinte de la pureté de l’être et de l’éveil spirituel.