Le nombre π, parfois appelé constante d’Archimède, est représenté par la lettre grecque minuscule du même nom (π). Dans un plan euclidien, il représente le rapport constant de la circonférence d’un cercle à son diamètre. On peut également le définir comme le rapport de l’aire d’un disque au carré de son rayon. En écriture décimale, sa valeur par défaut est de 3,141592653589793, avec une précision de moins de 0,5×10–15.
π est une des constantes les plus importantes en mathématiques, mais également en physique et en ingénierie. De nombreuses formules en dépendent. Le nombre π est irrationnel, ce qui signifie qu’il ne peut être exprimé comme un rapport de deux nombres entiers. Son écriture décimale n’est ni finie, ni périodique. En fait, il est même transcendant, ce qui implique qu’il n’existe pas de polynôme non nul à coefficients entiers dont π soit une racine.
La détermination d’une valeur approchée de π avec une précision suffisante et la compréhension de sa nature ont été des enjeux majeurs dans l’histoire des mathématiques. Ce nombre fascinant est même entré dans la culture populaire. Avant le XVIIIe siècle, π était désigné par diverses périphrases, comme la « constante du cercle », dans différentes langues. C’est à cette époque que la lettre grecque π, première lettre de περίμετρος (« périmètre » en grec ancien), a été introduite par le mathématicien William Jones, puis adoptée et popularisée par Euler.
Le nombre π est une constante mathématique définie comme le rapport entre la circonférence d’un cercle et son diamètre, dans le plan euclidien. Peu importe la taille du cercle choisi, ce rapport reste constant. En d’autres termes, pour tout cercle de rayon r, le rapport entre sa circonférence P et son diamètre d est égal à π : π = P/d = 2r/d
De même, pour tout cercle de rayon r, l’aire A du cercle est égale à π multiplié par le carré du rayon : A = πr²
Cela signifie que si un cercle est k fois plus grand qu’un autre, son périmètre sera également k fois plus grand tandis que son aire sera k² fois plus grande. Cette propriété de π peut être démontrée de différentes manières, comme par la méthode des indivisibles. Une méthode célèbre pour approximer π est celle d’Archimède. Elle consiste à inscrire et circonscrire un polygone régulier à l’intérieur et à l’extérieur d’un cercle, respectivement. En augmentant le nombre de côtés du polygone, on se rapproche de plus en plus de la valeur de π. Plus précisément, si le polygone a n côtés et que le rayon du cercle est r, alors le périmètre du polygone est approximativement égal à 2πr et son aire est approximativement égale à πr².
En résumé, π est une constante mathématique fondamentale qui décrit la relation entre la circonférence et le diamètre d’un cercle, ainsi que l’aire d’un cercle. Sa valeur exacte peut être calculée avec des méthodes sophistiquées, mais il peut également être approximé à l’aide de techniques plus simples, telles que la méthode d’Archimède.
La définition géométrique, qui est la première et la plus intuitive, n’est pas la plus rigoureuse pour définir π mathématiquement. Les ouvrages spécialisés préfèrent souvent définir π par l’analyse réelle, parfois en utilisant des fonctions trigonométriques, sans référence à la géométrie. Il est fréquent de définir π comme le double du plus petit nombre positif x tel que cos(x) = 0, où cos peut être défini comme la partie réelle de l’exponentielle complexe, ou comme la solution d’un problème de Cauchy.
Une autre définition est possible en considérant les propriétés algébriques de la fonction exponentielle complexe. On démontre alors que l’ensemble des nombres réels tels que exp(it) = 1 est de la forme aℤ où a est un réel strictement positif. On pose alors π = a/2. Le calcul intégral permet ensuite de vérifier que cette définition abstraite correspond bien à celle de la géométrie euclidienne.
Le groupe Bourbaki propose une autre définition très proche en démontrant l’existence d’un morphisme de groupes topologiques de (R, +) vers (U, ×), périodique de période 1, tel que f(1/4) = i. Ils démontrent que f est dérivable et que sa dérivée en 0 est de la forme αi pour un certain réel α > 0, qu’ils notent 2π.
On peut définir π grâce au calcul intégral en utilisant la formule suivante : π/2 = ∫[-1,1] √(1-x²) dx
Cette formule permet de calculer l’aire d’un demi-disque de rayon 1 en utilisant le calcul intégral. On peut également la voir comme la limite de sommes de Riemann pour calculer cette aire.
Il existe d’autres formules qui permettent de définir π grâce au calcul intégral, comme celle-ci : π/2 = ∫[0,1] dx / √(1-x²)
Cette formule revient à résoudre l’équation différentielle x’ = -√(1-x²) pour trouver le premier zéro de cos. Ces formules permettent de calculer π de manière précise et rigoureuse en utilisant des outils mathématiques avancés.
Pi est un nombre irrationnel, ce qui signifie qu’il ne peut pas être exprimé comme le quotient de deux nombres entiers. Cela a été démontré pour la première fois par Johann Lambert en 1761. Plus précisément, Pi est un nombre transcendant, ce qui signifie qu’il n’est pas la racine d’un polynôme à coefficients entiers. Cela a été démontré pour la première fois par Ferdinand von Lindemann en 1882.
La preuve de l’irrationalité de Pi est généralement effectuée par l’absurde, en supposant que Pi peut être exprimé comme le quotient de deux entiers, et en utilisant des arguments de divisibilité pour aboutir à une contradiction. La preuve de la transcendance de Pi est plus complexe et utilise des techniques d’analyse complexe, notamment la théorie des séries de Fourier et l’analyse complexe sur les fonctions elliptiques.
L’irrationalité et la transcendance de Pi sont des résultats importants en mathématiques, car ils montrent que Pi est un nombre vraiment spécial et qu’il n’est pas simplement le résultat d’une construction géométrique ou arithmétique. Ces résultats ont également des implications pour d’autres domaines des mathématiques, tels que la théorie des nombres et la géométrie algébrique.
La transcendance de π a été prouvée pour la première fois par Ferdinand von Lindemann en 1882. Cette propriété signifie que π n’est pas seulement un nombre irrationnel (c’est-à-dire qu’il ne peut pas être écrit sous la forme d’une fraction), mais qu’il n’est pas non plus la solution d’une équation algébrique avec des coefficients rationnels. En d’autres termes, π n’est pas racine d’un polynôme à coefficients rationnels. Cette propriété est extrêmement importante en mathématiques car elle montre que π est un nombre vraiment « spécial » et qu’il ne peut pas être obtenu comme solution d’une équation polynomiale avec des coefficients rationnels, contrairement à la plupart des autres nombres que nous utilisons en mathématiques.
La transcendance de π a été démontrée à l’aide de techniques de la théorie des nombres, qui ont depuis été utilisées pour prouver la transcendance d’autres nombres célèbres, tels que e et √2. Ces résultats ont des applications importantes en mathématiques et en informatique, notamment dans le domaine de la cryptographie.
La représentation décimale de pi est une écriture décimale infinie non périodique qui commence par 3,14159265358979323846… et continue à l’infini sans répéter aucun motif. Cela signifie qu’il n’y a pas de suite finie de chiffres qui se répète indéfiniment dans la partie décimale de pi. Cette propriété de l’irrationalité de pi est intimement liée à sa transcendance, qui a été prouvée pour la première fois par Johann Heinrich Lambert en 1761.
Les décimales de pi ont été calculées avec une précision de plus en plus grande au fil des ans, avec des progrès significatifs dans les méthodes de calcul numérique et de calcul formel. En 2021, le record mondial pour le calcul des décimales de pi est de plus de 62,8 billions de chiffres décimaux, atteint par Timothy Mullican en 2020. Cependant, dans la plupart des applications pratiques, une précision beaucoup plus faible est suffisante, souvent limitée à quelques décimales seulement.
La représentation fractionnaire de π est un sujet fascinant et complexe. Bien qu’il n’y ait pas de fraction exacte qui représente π, il existe des fractions qui s’en rapprochent de plus en plus près. Les fractions les plus simples qui approchent π sont 22/7 et 355/113. La première fraction donne une approximation de π à trois décimales près, tandis que la seconde en donne six. Ces fractions sont appelées approximations rationnelles de π.
Il est possible de générer des approximations rationnelles de π en utilisant des méthodes telles que la méthode de Ramanujan, la méthode de Gauss-Legendre et la méthode de Fibonacci. Ces méthodes impliquent toutes des formules mathématiques sophistiquées qui produisent des séquences de fractions convergentes qui se rapprochent de plus en plus de la valeur exacte de π. Cependant, malgré ces approximations, π reste un nombre irrationnel, ce qui signifie qu’il ne peut pas être représenté exactement par une fraction.
Il existe de nombreuses méthodes pour approximer la valeur de pi. Voici quelques exemples :
Ces méthodes ne sont que quelques exemples parmi de nombreuses autres qui existent pour approximer la valeur de pi.
On peut suivre l’évolution de la connaissance de π à travers l’histoire en se référant aux écrits disponibles. Cette histoire ancienne de π reflète en gros l’évolution des mathématiques dans leur ensemble. Certains auteurs divisent l’histoire de π en trois parties : une période antique durant laquelle π a été étudié géométriquement, une ère classique, aux alentours du XVIIe siècle, où les outils du calcul intégral ont permis des avancées significatives dans la compréhension du nombre π, et enfin la période actuelle, marquée par l’utilisation des ordinateurs numériques.
Les mathématiciens ont rapidement compris qu’il existait une relation constante entre le périmètre et le diamètre du cercle, ainsi qu’entre l’aire du disque et le carré de son rayon. Les tablettes babyloniennes de 2 000 ans av. J.-C. ont présenté des calculs d’aire donnant une valeur de π de 3 + 1/840, mais cette approximation est imparfaite car elle repose sur la couverture partielle de l’aire du disque par un octogone.
Le papyrus de Rhind, découvert en 1858, contient une méthode pour évaluer l’aire d’un disque en utilisant un carré dont le côté est égal au diamètre du disque diminué d’un neuvième. Cette méthode conduit à une évaluation de π de 256/81. Cette méthode peut être justifiée par un schéma présent dans le problème 48 du Papyrus Rhind, mais cela reste contesté par Annette Imhausen, historienne des mathématiques de l’Égypte antique, qui considère que ce schéma n’est qu’un exemple d’un manuel scolaire et non une note de recherche.
Vers 700 av. J.-C., le Shatapatha Brahmana, un texte indien, donne une approximation de π : 25/8 (= 3,125). Le Baudhāyana Sulbasūtra en donne deux autres : 900/289 (≈ 3,11) et 1156/361 (≈ 3,20). Des calculs d’astronomie ont ensuite conduit à une autre approximation védique : 339/108 (≈ 3,139). Au début du vie siècle apr. J.-C., Aryabhata donne une approximation plus précise : 62 832 / 20 000 ≈ 3,1416. Ce résultat est remarquable, car |π – 3,1416| < 0,0000075, ce qui est exact à 10−5 près.
Dans la Bible, au Premier Livre des Rois, vraisemblablement écrit au VIe siècle av. J.-C., il est fait mention d’un bassin de 10 coudées de diamètre, dont une corde de 30 coudées peut faire le tour, conduisant à une valeur de π = 3, ce qui donne une approximation de π. Dans son traité intitulé « De la mesure du cercle », Archimède (287 à 212 av. J.-C.) démontre une formule liant l’aire du disque et l’aire du triangle ayant une base de longueur le périmètre du cercle et pour hauteur le rayon. Ainsi, on peut constater que la même constante apparaît dans le rapport entre aire du disque et carré du rayon et entre périmètre et diamètre.
Sa méthode de démonstration se base sur la découpe en quartiers du cercle, qui permet de dessiner des triangles curvilignes de même hauteur en les mettant bout à bout. En multipliant le nombre de quartiers, la base des triangles curvilignes est presque droite et la hauteur est proche du rayon ; ainsi, la somme des bases correspond au périmètre du cercle et l’aire est de 1/2 de la base multipliée par la hauteur, soit 1/2 du périmètre multiplié par le rayon.
Dans son traité, Archimède établit un encadrement du périmètre du cercle en utilisant les périmètres des polygones réguliers inscrits et circonscrits au cercle et ayant 96 côtés. Pour calculer ces périmètres, il part d’hexagones inscrits et circonscrits et met en évidence les formules donnant le périmètre d’un polygone dont le nombre de côtés a doublé. Sa démonstration permet de montrer que 3 + 10/71 < π < 3 + 1/7, ce qui donne une valeur moyenne d’environ 3,14185. Archimède s’arrête à 96 côtés car les calculs sont déjà très longs pour l’époque, mais il pose les bases d’une méthode qui sera reprise par ses successeurs et qui permet, en théorie, une précision aussi grande que souhaitée. Cependant, il est nécessaire d’avoir une précision de plus en plus grande dans les premiers calculs à chaque fois que l’on double le nombre de côtés du polygone. Ptolémée, un scientifique grec ayant vécu trois siècles après Archimède, donne une valeur de 377/120 (≈ 3,14166…) qu’il a obtenue grâce à Apollonios de Perga ou en utilisant sa table trigonométrique et en multipliant par 360 la longueur de la corde sous-tendue par un angle d’un degré.
Bien que la valeur pratique de 3,14 soit souvent utilisée comme approximation de π pour des calculs pratiques, les mathématiciens cherchent à déterminer ce nombre avec une précision toujours plus grande. Au IIIe siècle, en Chine, Liu Hui, qui commente les Neuf Chapitres, propose une valeur pratique de 3 pour le rapport entre le périmètre et le diamètre, mais il développe des calculs similaires à ceux d’Archimède, mais plus efficaces. Il fournit ainsi une approximation de π égale à 3,14165. Zu Chongzhi, un autre mathématicien chinois, donne une approximation rationnelle encore plus précise de π : π ≈ 355/113 (dont les développements décimaux sont identiques jusqu’à la 6e décimale, π ≈ 3,141 592 6 et 355/113 ≈ 3,141 592 9). En appliquant l’algorithme de Liu Hui à un polygone à 12 288 côtés, Zu Chongzhi montre que 3,141 592 6 < π < 3,141 592 7. Cette valeur est restée la meilleure approximation de π pendant les 900 années suivantes.
Jusqu’en 1900, de nombreuses formules et méthodes ont été développées pour calculer le nombre pi avec une précision de plus en plus grande. Parmi les plus célèbres, on peut citer la méthode de Ramanujan, un mathématicien indien autodidacte qui a découvert de nombreuses formules pour pi au début du XXe siècle, ainsi que la méthode de Machin, développée au XVIIIe siècle par un mathématicien britannique, qui permet de calculer pi à l’aide d’opérations trigonométriques simples.
Au XIXe siècle, des mathématiciens ont également développé des séries infinies pour calculer pi, comme la série de Gregory-Leibniz ou la série de Machin. En 1841, le mathématicien français Jacques Binet a également découvert une formule pour pi qui permet de calculer ses décimales une par une.
En 1882, le mathématicien allemand Ferdinand von Lindemann a prouvé que pi est un nombre transcendant, c’est-à-dire qu’il ne peut être solution d’une équation algébrique à coefficients entiers. Cette découverte a montré que la quadrature du cercle, c’est-à-dire la construction d’un carré de même aire qu’un cercle donné à l’aide seulement d’une règle et d’un compas, est impossible.
La notation de π provient de la première lettre du mot grec « périmètre » (περίμετρος), qui désigne la longueur de la circonférence d’un cercle. Cette lettre a été utilisée pour représenter cette constante mathématique dès le XVIIIe siècle par le mathématicien gallois William Jones. Depuis lors, la notation π est devenue universelle pour représenter le rapport entre la circonférence et le diamètre d’un cercle.
À l’ère informatique, les calculs de pi ont connu une forte accélération grâce à l’utilisation de l’informatique et de nouvelles méthodes algorithmiques. En 1949, un ordinateur ENIAC a calculé pi jusqu’à 2 037 décimales en 70 heures de calcul. Depuis lors, de nombreux calculs ont été effectués avec des résultats de plus en plus précis, atteignant des trillions de décimales.
En 1985, le Japonais Yasumasa Kanada a utilisé l’algorithme de Gauss-Legendre pour calculer pi à 29 360 011 décimales, un record du monde à l’époque. Depuis lors, plusieurs autres records ont été établis, notamment en 2002 par les Français Xavier Gourdon et Pascal Sebah, qui ont calculé pi à 1,24 billion de décimales en 208 jours.
Le calcul de pi à de si nombreuses décimales peut sembler inutile, mais il a des applications pratiques, notamment en cryptographie et en simulation numérique. En outre, le calcul de pi reste un défi mathématique et informatique passionnant, qui stimule l’innovation et la découverte de nouvelles méthodes algorithmiques pour améliorer la précision des calculs.
Pi apparaît dans de nombreuses formules de géométrie, notamment dans les calculs liés aux cercles et aux sphères. Par exemple, la circonférence d’un cercle de rayon r est donnée par 2πr, et l’aire d’un cercle est donnée par πr^2. De même, le volume d’une sphère de rayon r est donné par (4/3)πr^3 et la surface de la sphère est donnée par 4πr^2.
Pi est également présent dans des formules utilisées pour calculer la longueur d’un arc de cercle, l’aire d’un secteur circulaire, la hauteur d’un segment circulaire, la longueur de l’hypoténuse d’un triangle rectangle, etc. En bref, pi est un concept central en géométrie et est utilisé dans de nombreux calculs et formules importants.
Liste exhaustive des formes géométriques où Pi est représenté ainsi que leur formule correspondante :
| Forme géométrique | Formule |
| Cercle | Périmètre = 2πr, Aire = πr² |
| Disque | Périmètre = 2πr, Aire = πr² |
| Sphère | Surface = 4πr², Volume = (4/3)πr³ |
| Cône circulaire droit | Surface latérale = πrl, Surface totale = πr(r + l), Volume = (1/3)πr²h |
| Cylindre circulaire droit | Surface latérale = 2πrh, Surface totale = 2πr(h + r), Volume = πr²h |
| Secteur circulaire | Aire = (θ/360)πr² |
| Corde | Longueur = 2r sin(θ/2) |
| Arc de cercle | Longueur = rθ |
| Calotte sphérique | Surface = 2πrh, Volume = (1/3)πh²(3r – h) |
| Ellipse | Aire = πab |
| Segment circulaire | Aire = (1/2)r²(θ – sin θ) |
Les nombres complexes de Pi font référence aux nombres complexes qui contiennent Pi en tant que composante. En particulier, on peut définir les nombres complexes en utilisant l’exponentielle complexe : e^(ix) = cos(x) + i sin(x)
où i est la racine carrée de -1. En utilisant cette formule, on peut écrire Pi en tant que nombre complexe : Pi = -1 + 0i
En d’autres termes, Pi peut être vu comme un nombre complexe sur l’axe réel négatif. Les nombres complexes de Pi sont donc souvent utilisés en géométrie et en analyse complexe pour représenter des angles et des rotations. Il convient de noter que les nombres complexes de Pi ne sont pas les mêmes que les nombres complexes que l’on utilise habituellement en mathématiques, qui sont des nombres de la forme a + bi où a et b sont des nombres réels et i est la racine carrée de -1.
La méthode d’Archimède pour calculer pi consiste à utiliser des suites et des séries pour approximer la circonférence d’un cercle. On commence par inscrire et circonscrire le cercle avec des polygones réguliers. Ensuite, on calcule les périmètres de ces polygones et on les utilise pour construire des suites qui convergent vers la circonférence du cercle.
Plus précisément, on note Cn le périmètre du polygone inscrit à n côtés, et Pn le périmètre du polygone circonscrit à n côtés. Les formules suivantes permettent de calculer Cn et Pn :
où r est le rayon du cercle et sin et tan sont les fonctions trigonométriques sinus et tangente.
On peut alors construire les suites an et bn définies par :
Ces suites convergent respectivement vers la circonférence du cercle et vers un nombre compris entre la circonférence et le double de son rayon. En appliquant la méthode d’Archimède avec des polygones à un grand nombre de côtés, on peut obtenir une approximation de pi avec une grande précision.
Par exemple, en utilisant des polygones à 96 côtés, on obtient les approximations suivantes :
Ces approximations sont déjà très proches de la valeur réelle de pi, qui est 3,14159… On peut encore améliorer l’approximation en utilisant des polygones à un plus grand nombre de côtés.
En probabilités et en statistiques, π apparaît souvent dans les formules pour calculer les probabilités de distributions continues telles que la distribution normale et la distribution de Cauchy. En particulier, la densité de probabilité de la distribution normale utilise une fonction exponentielle contenant π : f(x) = (1/√(2πσ^2)) * exp(-(x-μ)^2/(2σ^2))
où μ est la moyenne de la distribution et σ est l’écart-type.
π apparaît également dans la formule pour calculer la variance d’une distribution continue : Var(X) = ∫(x-μ)^2 * f(x) dx
où f(x) est la densité de probabilité de la distribution continue et μ est la moyenne de la distribution.
En ce qui concerne les statistiques, π apparaît dans la formule pour calculer l’aire d’un cercle, qui est souvent utilisée pour représenter des données statistiques sous forme de graphiques circulaires : A = πr^2 où r est le rayon du cercle.
π est un nombre transcendant, ce qui signifie qu’il n’est pas possible de l’exprimer avec des nombres et des fonctions algébriques. Pour calculer π, on utilise généralement des formules impliquant des sommes infinies. Plus on ajoute de termes dans le calcul, plus on se rapproche de la valeur de π avec une précision de plus en plus grande. C’est pourquoi les calculs numériques impliquant π nécessitent des approximations. La première approximation de π fut 3, qui convient pour les situations où la précision n’est pas essentielle. Le nombre 3 est souvent utilisé comme estimation de π, car il correspond au rapport entre le périmètre d’un hexagone régulier inscrit dans un cercle et le diamètre de ce cercle.
Dans de nombreux cas, les approximations de π telles que 3,14 ou 22/7 suffisent, mais pour une plus grande précision, les ingénieurs utilisent souvent des approximations avec plus de chiffres significatifs, telles que 3,1416 ou 3,14159. Les approximations de π en 22/7 ou 355/113 sont obtenues à partir de la fraction continue de π. Cette dernière approximation, découverte par le mathématicien chinois Zu Chongzhi (祖沖之 en sinogrammes traditionnels, 祖冲之 en sinogrammes simplifiés, Zǔ Chōngzhī en pinyin) (429-500), offre une précision de 7 chiffres significatifs.
De nos jours, les ingénieurs utilisent principalement des constantes informatiques prédéfinies pour les calculs impliquant π. L’approximation 355/113 est la meilleure approximation de π exprimable uniquement avec 3 chiffres au numérateur et au dénominateur. Pour une précision de 10 chiffres significatifs, il faut utiliser l’approximation 103 993 / 33 102, qui est obtenue grâce au développement en fraction continue de π et implique le nombre élevé 292.
Dans le domaine des calculs numériques effectués sur ordinateur, il est courant d’utiliser une constante pré-établie avec une précision d’au moins 16 chiffres significatifs. Cette valeur est choisie pour que son sinus, calculé avec une fonction de cette même précision, soit exactement égal à zéro. La meilleure précision possible pour représenter un nombre en virgule flottante au format standard IEEE 754 sur 64 bits, connu sous le nom de « double précision », est de 16 chiffres significatifs. C’est pourquoi la constante M_PI est définie en double précision dans le fichier d’en-tête standard <math.h>, qui est utilisé dans les langages de programmation C et C++. Cette constante a pour valeur 3,141592653589793, mais elle peut comporter des chiffres supplémentaires si la plateforme supporte une précision plus élevée pour le type long double. La même valeur est utilisée dans le langage de programmation Java, qui se base également sur la norme IEEE 754, avec la constante standard java.lang.Math.PI. Cette constante est définie de la même manière dans de nombreux autres langages de programmation, avec la précision maximale possible pour les formats de nombres en virgule flottante pris en charge. En effet, le type de données « double précision » de la norme IEEE 754 est devenu une référence de précision minimale dans de nombreux langages pour de nombreuses applications.
Les processeurs de la famille x86 sont équipés d’unités de calcul matérielles (FPU) capables de représenter des nombres flottants sur 80 bits. Cette précision peut être utilisée en C ou C++ avec le type long double, mais sans garantie de support matériel. La précision de la constante π peut alors atteindre 19 chiffres significatifs. La dernière révision de la norme IEEE 754, publiée en 2008, a introduit la définition de nombres en virgule flottante en « quadruple précision » (ou quad) codés sur 128 bits. Avec cette précision, il serait possible de définir une approximation de la constante π avec une précision de 34 chiffres significatifs. Toutefois, cette précision n’est pas encore prise en charge nativement par de nombreux langages de programmation car peu de processeurs permettent cette précision directement au niveau matériel sans un support logiciel supplémentaire.
Pour les plateformes ou langages ne supportant que les nombres en « simple précision », codés sur 32 bits utiles selon la norme IEEE 754, la précision maximale supportée est de 7 chiffres significatifs. C’est-à-dire que la constante correctement arrondie à 3,141593, qui est équivalente en précision à celle donnée par la fraction 355/113, peut être utilisée. Cette fraction permet également des calculs rapides dans des logiciels pour des systèmes légers ne disposant pas d’unité matérielle de calcul en virgule flottante.
Le nombre π est souvent évoqué dans les pyramides, où il est considéré comme le rapport entre le périmètre de la base et le double de la hauteur. La pyramide de Khéops a une pente de 14/11, ce qui donne un rapport de 22/14 entre la base et la hauteur. Bien que le rapport 22/7 soit une bonne approximation de π, il ne faut pas en conclure qu’il y ait une intention derrière cela, car les pentes des pyramides varient selon les régions et les époques, avec des rapports entre périmètre et double de la hauteur éloignés de π.
Cependant, π est bien présent dans la culture artistique moderne. Dans le roman Contact de Carl Sagan, π joue un rôle important et l’idée qu’un message soit caché dans les décimales de π est suggérée. Cette partie de l’histoire a été exclue de l’adaptation cinématographique.
Au cinéma, le premier long métrage de Darren Aronofsky, Pi, est un thriller mathématique sur la découverte de la séquence parfaite, qui révèle la formule exacte des marchés boursiers de Wall Street ou encore le véritable nom de Dieu. En musique, Kate Bush a sorti en 2005 l’album Aerial, qui contient une chanson intitulée « π » dont les paroles sont principalement composées des décimales de π.
La mémorisation de π ne se limite pas aux premiers chiffres usuels (entre 3 et 6) ou à la fraction remarquable 355/113 (qui donne 7 chiffres significatifs). Pour certains, mémoriser un nombre record de décimales de π est une obsession. En 2004, Daniel Tammet, un jeune autiste Asperger, a récité 22 514 décimales en 5 heures, 9 minutes et 24 secondes. En 2005, le Livre Guinness des records a reconnu le record de Lu Chao, un diplômé chinois de 67 890 décimales en 24 heures et 4 minutes. En 2006, l’ingénieur japonais retraité Akira Haraguchi a récité 100 000 décimales en 16 heures et demie, mais ce record n’a pas été validé par le Guinness des records. En mars 2015, Rajveer Meena, un étudiant indien, a établi un nouveau record officiel de 70 000 décimales en 9 heures et 27 minutes, qui a ensuite été battu en octobre de la même année par Suresh Kumar Sharma, un autre Indien, avec 70 030 décimales en 17 heures et 14 minutes.
Le 17 juin 2009, Andriy Slyusarchuk, un neurochirurgien et professeur ukrainien, a affirmé avoir mémorisé 30 millions de décimales de π, qui ont été imprimées en 20 volumes. Bien qu’il n’ait pas récité les 30 millions de chiffres qu’il prétendait avoir retenus (ce qui lui aurait pris plus d’un an), certains médias affirment qu’il était capable de réciter dix décimales choisies aléatoirement parmi les volumes imprimés. Cependant, cette affirmation a été sérieusement mise en doute par les experts, qui ont comparé ses résultats à ceux officiellement retenus par le Guinness des records. Il existe plusieurs techniques pour mémoriser les décimales de π, notamment des poèmes où le nombre de lettres de chaque mot correspond à une décimale, les mots de dix lettres représentant un 0.
Le nombre pi et sa notation décimale sont des concepts mathématiques qui sont très ancrés dans la culture populaire, bien plus que tout autre objet mathématique. En témoignent les nombreux articles publiés dans la presse généraliste pour annoncer la découverte d’un plus grand nombre de décimales de π. Cet objet mathématique est devenu si familier qu’un lac situé au Québec a même été baptisé « Lac 3.1416 ».
Dans certains départements mathématiques des universités anglo-saxonnes, il est de tradition de célébrer l’anniversaire de π le 14 mars, jour noté « 3/14 » en notation américaine et appelé « journée de pi ».
Il est possible d’utiliser le nombre PI comme symbole de La Création dans l’application de la loi du Triangle, une notion ternaire du Principe Créatif que connaissent bien les étudiants des « Mystères ». Cette loi implique que pour qu’une chose puisse se manifester, il faut une réaction provoquée par les actions et interactions de deux polarités complémentaires. Au commencement, il y a l’UN-Unité qui exprime l’amour, premier aspect de l’UN. L’amour crée ensuite la lumière, deuxième division de l’UN, et les actions et interactions de l’amour et de la lumière apportent la vie, troisième division de l’UN. Grâce à cette notion ternaire, le principe de l’UN permet la manifestation de la Création.
En traçant un triangle équilatéral et en plaçant l’amour sur l’un des sommets, la lumière sur l’autre et la vie au point de jonction des deux, on peut observer clairement le développement de la loi du triangle. Le nombre 3 est utilisé pour sa construction. En traçant ensuite un cercle passant par les trois sommets du triangle, on obtient un point infini qui représente La Création infinie et éternelle, manifestée par l’application de la Loi du triangle. Les trois sommets du triangle ainsi que le point infini du cercle forment quatre points qui symbolisent la Création : le triangle représente la loi ternaire qui manifeste toute chose créée, le cercle représente la conscience circulaire, la nature spirituelle et féminine, tandis que le carré représente la conscience carrée, la nature physique et masculine. En plaçant le cercle et le carré à la base du triangle et en les reliant par des actions et des interactions, on obtient une réaction au sommet du triangle. Ainsi, la loi se développe à l’infini à partir du nombre PI.
Les disques Pi, des cercles percés souvent taillés dans le Jade dans l’art ancien chinois, symbolisent le Ciel, l’Infini et le Bien-être. Ils ont été inspirés par des pièces de monnaie en cuivre ou argent. Autrefois, les souverains les utilisaient comme un emblème de pouvoir et les offraient parfois aux invités de marque. Des disques Pi ont également été découverts dans les tombes des défunts, déposés sur leurs corps pour les accompagner et les protéger dans l’au-delà. Aujourd’hui, les disques Pi sont portés comme des amulettes ou des bijoux porte-bonheur pour apporter richesse et sécurité à ceux qui les portent. Selon la légende, ils peuvent éviter les malheurs et sont considérés comme un symbole de statut social et de richesse. Ils sont également offerts en cadeau pour exprimer des sentiments amoureux.
La forme parfaite du cercle extérieur du Pi Chinois représente la vaste et infinie Terre. Le perçage intérieur favorise l’entrée de nouvelles énergies. L’espace du Pi Chinois est empreint de la beauté de la nature et met en évidence la tolérance et l’harmonie que nous recevons lorsque nous alignons notre cœur avec les énergies de la Terre et du Ciel.
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