Triangle

Quelles sont les propriétés du triangle ?

Les inégalités du triangle

Pour construire un triangle, il est nécessaire de respecter l’inégalité des longueurs de côtés : pour chaque côté, sa longueur est inférieure ou égale à la somme des longueurs des deux autres côtés. Les triangles plats sont caractérisés par l’égalité de cette inégalité. Pour vérifier cette inégalité, il suffit de comparer la plus grande longueur avec la somme des deux autres. En utilisant cette méthode, il est possible de construire un triangle en traçant un segment d’une longueur donnée, puis en dessinant deux cercles centrés sur les extrémités de ce segment et ayant pour rayon les deux autres longueurs. Les deux cercles auront deux points d’intersection, et n’importe lequel de ces deux points définit le triangle de dimensions souhaitées avec le segment initial.

La somme des angles du triangle

La somme des angles d’un triangle est égale à 180°, une propriété caractéristique de la géométrie euclidienne. Cependant, d’autres géométries existent, telles que la géométrie elliptique ou hyperbolique, où la somme des angles d’un triangle peut être supérieure ou inférieure à 180°. Il est possible de construire un triangle avec des mesures d’angles données, en traçant un segment, et en formant les angles voulus avec des demi-droites en chaque extrémité du segment. Les deux demi-droites auront un point d’intersection où l’angle intérieur sera le troisième angle voulu.

Les cas singuliers du triangle

Un triangle dégénéré est un triangle où au moins deux sommets sont confondus. Un triangle plat est un triangle dont les sommets sont alignés. Un triangle isocèle possède au moins deux côtés de même longueur, avec les angles adjacents ayant la même mesure. Un triangle équilatéral a tous ses côtés de même longueur et ses angles ont tous la même mesure de 60°, avec trois axes de symétrie. Un triangle scalène n’est ni isocèle ni plat et peut également être rectangle. L’adjectif « scalène » ne signifie pas « quelconque », un triangle quelconque peut posséder des propriétés particulières, tandis qu’un triangle scalène ne peut être ni isocèle ni équilatéral.

Un triangle qui a un angle droit est appelé triangle rectangle. Il satisfait le théorème de Pythagore. S’il possède un angle obtus, il est connu sous le nom de triangle obtusangle ou ambligone. Si tous les angles sont aigus, il est connu sous le nom de triangle acutangle ou oxygone. Il existe des triangles particuliers tels que le demi-carré, le triangle des arpenteurs, le triangle de l’écolier, le triangle d’or, le triangle heptagonal et le triangle de Kepler qui ont des caractéristiques uniques en termes de longueur de côté et d’angles. Un triangle qui est divisé en deux triangles isocèles par l’une de ses bissectrices est appelé un triangle bisocèle. Seuls le demi-carré et le triangle d’or peuvent avoir cette propriété.

Les relations des triangles semblables

Deux triangles sont dits semblables s’ils ont les mêmes mesures d’angle. Ils ne sont pas nécessairement isométriques, mais leurs longueurs de côté sont proportionnelles avec un même coefficient de proportionnalité k. Leurs aires sont alors reliées par un facteur k2. Il existe une similitude (composée d’une isométrie et d’une homothétie) qui permet de les transformer l’un en l’autre. Cette définition équivaut à dire que les trois angles des deux triangles ont les mêmes mesures (AAA) ou que les longueurs des côtés des deux triangles sont proportionnelles. Il est à noter que deux triangles isométriques sont toujours semblables et deux triangles équilatéraux également.

Quelles sont les utilisations du triangle ?

Les relations métriques dans un triangle peuvent être utilisées pour évaluer des distances en navigation, géodésie et astronomie. En utilisant ce principe, le méridien terrestre a été mesuré pour définir le mètre. En géométrie, l’aire d’un domaine peut être décomposée en une série de triangles disjoints. Cette technique est utilisée en analyse numérique pour la méthode des éléments finis et en imagerie numérique.

Il existe plusieurs polyèdres (réguliers ou non) qui ont des faces triangulaires, tels que le tétraèdre, l’octaèdre, l’icosaèdre et le grand icosaèdre. Les polyèdres dont toutes les faces sont des triangles équilatéraux sont appelés deltaèdres. Enfin, tout polygone peut être découpé en un nombre fini de triangles, formant ainsi une triangulation. Le nombre minimal de triangles nécessaires à ce découpage est de n-2, où n est le nombre de côtés du polygone. L’étude des triangles est fondamentale pour comprendre les autres polygones, comme pour la démonstration du théorème de Pick.

Quelles sont les constructions géométriques associées au triangle ?

La construction géométrique du triangle médian

Si l’on relie les milieux des côtés d’un triangle, quatre triangles semblables au triangle initial sont formés. Le triangle central, appelé triangle médian, a ses sommets aux milieux des côtés du triangle initial et sa surface est égale à un quart de celle du triangle initial. Il est également connu sous le nom de triangle cévien du centre de gravité. Selon le théorème des milieux, les côtés de ce triangle sont parallèles à ceux du triangle initial et ont des longueurs proportionnelles dans un rapport de 1/2.

Le centre du cercle circonscrit et les médiatrices

Si un triangle n’est pas plat, il existe un point commun à ses trois médiatrices, appelé centre du cercle circonscrit. Il est à égale distance des trois sommets et est souvent noté O ou Ω. Ce centre est le milieu d’un côté pour les triangles rectangles et se trouve à l’intérieur ou à l’extérieur du triangle selon qu’il est acutangle ou obtusangle. Le produit du rayon du cercle circonscrit et de l’aire du triangle est égal à un quart du produit des longueurs des côtés du triangle.

La cévienne du triangle

Dans un triangle, une cévienne est un segment de droite reliant un sommet à son côté opposé. Les médianes, hauteurs et bissectrices sont des exemples de céviennes particulières.

Les médianes d’un triangle relient chaque sommet au milieu du côté opposé. Elles divisent le triangle en deux parties égales. Lorsque le triangle est non plat, les trois médianes se rejoignent en un point appelé centre de gravité, souvent noté G. Ce point est à la fois l’isobarycentre des trois sommets et le centre de masse de l’intérieur du triangle.

Les hauteurs d’un triangle sont des droites passant par chaque sommet et perpendiculaires au côté opposé. Lorsque le triangle est non plat, les trois hauteurs se rejoignent en un point appelé orthocentre, souvent noté H. Un triangle est rectangle si et seulement si son orthocentre est l’un de ses sommets. Pour un triangle acutangle, l’orthocentre se trouve à l’intérieur du triangle, tandis qu’il est à l’extérieur pour un triangle obtusangle.

Les médiatrices d’un triangle sont les hauteurs de son triangle médian, et par conséquent, le centre du cercle circonscrit à un triangle est l’orthocentre du triangle médian. Le point de Longchamps est le symétrique de l’orthocentre par rapport au centre du cercle circonscrit.

Les bissectrices d’un triangle sont des demi-droites qui divisent les angles en deux angles de même mesure. Si le triangle est non plat, les trois bissectrices se rejoignent en un point appelé centre du cercle inscrit, souvent noté I ou J. Il est le centre du seul cercle qui est tangent aux trois côtés du triangle.

Le théorème de Steiner-Lehmus affirme que les longueurs de deux bissectrices dans un triangle sont égales si et seulement si les angles correspondants ont même mesure. Les points de contact du cercle inscrit avec les côtés forment le triangle de Gergonne, et les segments reliant ces points de contact avec les sommets opposés se rejoignent en un point appelé point de Gergonne.

Chaque bissectrice divise le côté opposé en deux segments dont les longueurs sont proportionnelles à celles des côtés de l’angle grâce à la loi des sinus. Par exemple, la longueur du segment de bissectrice allant du sommet A jusqu’au côté BC est : AM = 2(bc/(b+c))cos(A/2) où b et c désignent les longueurs des côtés AC et AB, et A l’angle en A.