Les spirales constituent en géométrie plane une famille de courbes ayant une allure similaire : une partie de la courbe semble tourner autour d’un point fixe tout en s’en rapprochant, tandis que l’autre extrémité semble s’en éloigner.
Une courbe plane, dont l’équation polaire est de la forme ρ=f(θ), où f est une fonction monotone, est appelée spirale.
Un exemple de spirale conique est celle dont la base est une spirale d’Archimède. Le terme spirale est également utilisé pour désigner des courbes en dimension trois, qui tournent autour d’un axe en s’en rapprochant ou en s’en éloignant, comme les spirales coniques ou l’hélice circulaire qui reste à une distance fixe.
La forme de la spirale se retrouve dans de nombreux aspects de la nature et a inspiré les artistes et les écrivains de toutes les époques.
Les spirales en dimension deux ont été étudiées dès le IIIe siècle avant J.-C. en tant que résultat du mouvement mécanique d’un point se déplaçant sur une droite qui tourne autour d’un point. Depuis, de nouvelles courbes aux formes diverses ont été découvertes au fil des problèmes géométriques et physiques que se posent les mathématiciens.
Il est difficile de trouver une définition générale d’une spirale, bien que les auteurs s’accordent sur le fait qu’il s’agit de la trajectoire d’un point qui tourne autour d’un centre tout en s’en éloignant ou s’en rapprochant. Selon certaines définitions, la spirale est une ligne courbe tracée de manière à s’éloigner toujours de son point de départ, en faisant autour de ce point une ou plusieurs révolutions. Selon d’autres définitions, les spirales sont les courbes qu’engendre un point qui tourne autour d’un autre en s’éloignant ou en se rapprochant de plus en plus de ce centre.
Si f est une fonction croissante, la courbe d’équation polaire ρ=f(θ) est une spirale. Une spirale plane est définie comme une courbe ayant une équation polaire de la forme ρ=f(θ), avec f monotone. La portion de courbe parcourue par le point lorsqu’il effectue un tour complet autour du centre est appelée une spire.
Il existe deux grandes familles principales de spirales définies par leur équation :
On peut également construire des spirales par morceaux en utilisant des arcs de cercles ou des segments de droites. Les spirales à centres multiples sont ainsi utilisées pour tracer des volutes, tandis que les spirales tracées à l’aide de segments de droites sont appelées des spirangles. Il est également possible de construire des spirales à l’aide de moyens mécaniques : par exemple, en enroulant une corde autour d’un arbre et en la déroulant tout en maintenant la corde tendue, on peut dessiner une spirale proche d’une développante du cercle.
En dimension trois, de nombreuses courbes gauches sont qualifiées de spirales ou d’hélices en raison de leur enroulement autour d’un axe tout en s’en éloignant ou en s’en rapprochant constamment. Souvent, leur projection orthogonale sur un plan perpendiculaire à l’axe dessine une spirale plane ou un cercle. Les solides de révolution permettent de tracer des spirales sur leur surface, et plusieurs grandes familles de ces courbes peuvent être distinguées sans être disjointes ni exhaustives.
La première famille est celle des hélices, qui sont des courbes dont la tangente fait un angle constant avec un axe fixe. Les hélices cylindriques se dessinent sur un cylindre (y compris l’hélice circulaire), les hélices coniques se dessinent sur un cône et les hélices sphériques sont également présentes dans cette famille.
La seconde famille est celle des spirales coniques, dont la projection sur le plan de base est une spirale. Le cône de révolution est souvent utilisé pour leur construction, parmi lesquelles on trouve l’hélice conique ou conchospirale qui se projette sur une spirale logarithmique, ainsi que la spirale de Pappus conique qui se projette sur une spirale d’Archimède.
La dernière famille est celle des spirales sphériques, qui sont des courbes tournant sur un hémisphère et qui présentent également l’aspect de spirales. Les courbes de cette famille incluent certaines clélies telles que la spirale de Pappus sphérique, l’hélice sphérique dont les tangentes font un angle fixe avec l’axe de la sphère, et les loxodromies, parfois qualifiées de spirales, dont les tangentes font un angle fixe avec les méridiens.
Des formes évoquant celles de la spirale sont présentes à toutes les échelles de la vie et du monde physique. La première occurrence est associée à une croissance en combinaison avec un mouvement tournant. Les formes de coquilles d’escargots ou de gastéropodes, qui se développent de manière orientée, présentent une spirale bien connue et bien visible – chaque espèce se répartissant principalement selon un type lévogyre (en regardant le coquillage la pointe placée en avant et l’ouverture en arrière, les spires tournent dans le sens trigonométrique) ou dextrogyre (les spires tournent dans le sens horaire). Les cornes de cervidés, telles celles des béliers et des antilopes, offrent de beaux développements spiralés.
La spirale est un peu moins évidente mais fréquente en botanique, avec, par exemple, la structure du chou romanesco ou de la pomme de pin, la disposition spiralée des graines du tournesol, ou encore le point d’insertion des feuilles sur la tige (l’angle dièdre passant par l’axe de la tige et deux points qui se succèdent est la divergence, une valeur caractéristique de l’espèce).
Des formes évoquant celles de la spirale se trouvent dans toutes les échelles du vivant et du monde physique. Les coquilles d’escargots ou de gastéropodes, ainsi que les cornes de cervidés, offrent des développements spiralés bien visibles. En botanique, on peut observer la spirale dans la structure du chou romanesco, la disposition des graines du tournesol, ou le point d’insertion des feuilles sur la tige.
D’autres spirales sont le fruit de l’adaptation du vivant à son environnement. Les animaux à queue tels que le caméléon ou l’hippocampe enroulent leur appendice pour former une spirale, tout comme les myriapodes. Les plantes grimpantes dessinent des spirales lorsqu’elles s’enroulent autour d’un tuteur ou lancent des vrilles pour s’y agripper. Le spirographe déploie ses filaments en spirales pour se nourrir et respirer, tandis que l’araignée construit sa toile en procédant à la construction successive de deux spirales.
La spirale est également présente dans le monde animal, comme dans certains tissus musculaires, ainsi que dans le monde microscopique chez certaines bactéries. Les bactéries spiralées sont souvent pathogènes pour divers animaux, voire pour l’homme, comme les spirochètes responsables de la syphilis, ou les bactéries du genre Borrelia responsables de la maladie de Lyme. Chez ces bactéries, la morphologie spiralée est souvent associée à une motilité particulière, adaptée aux environnements mucilo-gélatineux, tels que le mucus ou l’intérieur de l’œil pour certaines borrélies. Cette forme spiralée et la motilité particulière de ces organismes semblent leur conférer un avantage sélectif dans ces environnements.
Dans des dimensions encore plus petites, l’ADN est également spiralé, bien qu’il puisse être déroulé, mais il existe aussi chez les bactéries des ADN circulaires en anneau. On peut également observer cette courbe dans la trajectoire des animaux méfiants s’approchant de leur cible, dans les rassemblements de rennes ou de pingouins, ainsi que dans les vortex de poissons pour se protéger des prédateurs ou du froid. Ce comportement est à rapprocher des courbes de poursuites mutuelles étudiées en mathématiques.
Le mot « spirale » provient du latin « spira » ou du grec ancien « speira », et désigne un enroulement. Dans le langage courant, l’adjectif « spiral » ou « spiralé » désigne toutes les formes évoquant la spirale mathématique, comme un escalier en spirale, ou comprenant une suite de circonvolutions, en dessin et en architecture. Les plus anciennes traces de spirales gravées par l’homme datent de la culture paléolithique de Mal’ta près d’Irkoutsk, de la vallée d’Arudy et du tumulus de Newgrange. La signification de la spirale dans ces œuvres reste obscure, même si sa fréquence dans l’art celte ultérieur lui donne une résonance religieuse. La spirale apparaît également dans les œuvres d’art comme élément figuratif, représentant la toison des béliers, la végétation, ou une représentation animalière, ainsi que dans les monuments tels que la stupa de Sanchi en Inde, les volutes des colonnes ioniques ou corinthiennes, et dans les églises médiévales.
Dans l’architecture religieuse, elle est utilisée pour symboliser une ascension réelle ou spirituelle vers le ciel, comme dans la mosquée de Samara, les représentations de la tour de Babel ou les clochers torsadés. Au XVIe siècle, avec la figura serpentinata du maniérisme, et plus encore au XVIIe siècle avec l’arrivée du baroque, la spirale évocatrice du mouvement prend de l’importance, notamment dans la peinture, où des artistes tels qu’Albrecht Dürer, Léonard de Vinci et Pierre Paul Rubens en font usage pour donner vie à des chevelures, ou au mouvement de l’eau et de l’air. Cette utilisation de la spirale pour figurer le mouvement de l’air et de l’eau se retrouve également dans la peinture japonaise, et se poursuit jusqu’au XIXe siècle chez des artistes tels que Vincent van Gogh et Nicolò Barabino.
La spirale se manifeste également en littérature. Dante Alighieri décrit sa descente aux enfers comme un voyage en spirale de cercle en cercle. Edgar Poe, dans sa nouvelle « Une descente dans le Maelstrom », fait de ce phénomène une descente aux abîmes suscitant effroi et admiration et dont on ressort transformé comme « un voyageur revenu du monde des esprits ». Ces deux expériences sont à rapprocher de l’expression « spirale infernale » indiquant un phénomène dans lequel on est entraîné et conduisant à une destruction. Gustave Flaubert avait le projet d’une nouvelle intitulée « La Spirale », inspirée par « Les Paradis artificiels » de Charles Baudelaire, dans laquelle son héros « enroulerait autour du thyrse de la réalité la spirale de rêves » provoqués par le haschich.
Alfred Jarry, quant à lui, fait de la spirale de son père Ubu un phénomène en expansion illustrant les appétits dévorants de son personnage, mais aussi sa vanité et son enflure. Cette « Gidouille » devient le signe de reconnaissance des pataphysiciens. La spirale est un élément central dans l’œuvre du poète William Butler Yeats (« La seconde venue », « A vision », « l’Escalier en spirale »). Elle illustre la vision de Yeats sur l’évolution d’une vie, ou plus généralement de l’histoire de l’humanité, qui procéderait en spires successives sur une double escalier conique se rétrécissant et s’élargissant.
Elle est une symbolique puissante chez James Joyce (« Ulysse », « Finnegans Wake ») à tel point que Constantin Brancusi utilise cette image pour représenter Joyce (Symbole de Joyce), ou chez Samuel Beckett (« L’Innommable ») comme une vision concentrique vers un anéantissement. Chez les philosophes comme Hegel et son « Kreislauf » ou Roland Barthes, elle illustre une conception de l’histoire ou du monde. La didactique utilise l’image d’une progression en spirale pour évoquer le principe de revenir sur une notion en cercles successifs à des niveaux croissants de connaissance et de maîtrise.
L’origine de la belle forme en spirale des galaxies proviendrait de leurs champs magnétiques, comme l’a révélé l’Observatoire astronomique de la NASA à partir de l’observation d’une galaxie en spirale située à 47 millions d’années-lumière de la Terre. La question de savoir comment ces spirales se sont formées a longtemps intrigué les scientifiques, mais des observations de l’Observatoire stratosphérique d’astronomie infrarouge (SOFIA) de la NASA ont peut-être trouvé la réponse. Tout comme la Voie lactée, la galaxie NGC 1086 est formée de deux longs bras en spirale qui s’étendent depuis son centre. Les astronomes ont conclu que des champs magnétiques invisibles seraient à l’origine de cette forme en spirale, en complément de la gravité qui joue un rôle important dans la formation des galaxies.
Les champs magnétiques s’alignent avec les bras en spirale et ont plus d’influence sur la forme des galaxies qu’on ne le pensait. Les champs magnétiques géants influencent l’évolution des galaxies, ce qui est une preuve supplémentaire qui vient consolider la théorie dite des « ondes de densité ». Les bras des galaxies sont forcés d’adopter cette forme en spirale en raison de l’alignement entre gravité et magnétisme, mais le rôle des champs magnétiques dans leur développement est encore peu compris. Le Dr Enrique Lopez-Rodriguez, astronome au SOFIA Science Center de la NASA, prévoit d’autres annonces similaires dans les mois à venir pour étayer ces premières observations.
Depuis toujours, la spirale a été représentée, depuis les premiers peuples jusqu’aux merveilles de la nature. Sa forme se reflète dans le macrocosme de l’immensité de l’univers lui-même. Dans les traditions autochtones, la spirale était le symbole de l’origine énergétique, la mère originelle. Elle remonte à une époque où les humains étaient plus connectés à la terre, aux spirales et aux cycles naturels. La spirale est la clé de l’intelligence du logos et de l’origine du son originel OM, et le nombre d’or, ou la proportion divine, est le plus grand secret de la nature. Prana, ou la force créative, fait tournoyer Akasha dans un continuum de formes solides. La spirale originelle n’est pas une idée, mais plutôt ce qui rend toute condition et toute idée possible.
Platon considérait que l’âme du monde s’unissait dans une résonance harmonique. La spirale d’or, une spirale logarithmique équivalente à la spirale du nombre d’or, est observable dans la nature sous la forme de la suite ou de la séquence de Fibonacci. Selon la spirale de vie, danser serait la capacité de matérialiser la spirale d’Akasha dansante, liée à la capacité de percevoir la beauté et la symétrie dans la nature. Le mystère est la plus belle chose que l’on puisse ressentir, l’origine de tout art et de toute science véritable. Celui qui ne ressent pas cette émotion, qui ne parvient plus à faire une pause pour s’émerveiller et se laisser impressionner, ne vaut pas plus que la mort, il a les yeux fermés. – A.Einstein.
Le poète William Balke a écrit que l’univers végétal s’ouvre comme une fleur à partir du centre terrestre, où se trouve l’éternité, et se prolonge depuis les étoiles jusqu’au banal coquillage, où il rencontre à nouveau l’éternité, à l’intérieur et à l’extérieur. La spirale nous relie à notre centre, à notre « hara », qui est l’intuition reliée à une source énergétique ! Une personne reliée à son centre est reliée à la terre et à la sagesse intuitive de tous les êtres. Les aborigènes pensaient avec leur ventre, là où se trouvait le cordon du grand serpent arc-en-ciel, une représentation de l’énergie évolutive de l’humain.
De nos jours, les humains tentent de comprendre la spirale avec un esprit rationnel, sans jamais penser à se relier à la spirale de la vie. S’aligner avec son plein potentiel d’évolution consiste à équilibrer la force de la spirale avec le calme de sa conscience comme témoin. Le canal féminin ou lunaire « Ida » est relié à l’hémisphère droit du cerveau, tandis que le canal masculin ou solaire « Pingala » est relié à l’hémisphère gauche du cerveau. Lorsque ces deux canaux s’équilibrent, l’énergie remonte un troisième canal, « sushumma », le long du centre de l’épine dorsale, stimulant les chakras et libérant ainsi le plein potentiel évolutionnaire.
De nombreux motifs spiralés, ainsi que celui du serpent, symbolisent le mouvement et l’énergie propre au mystère de l’Univers et de sa création, tels que le verbe originel, la vibration, le cycle, l’évolution, la fertilité, le recommencement, la régénération, l’initiation…
La coquille de l’escargot de terre ou de mer est un glyphe universel, dont la spirale se rattache à la thématique de la fécondité lunaire et aquatique, ainsi qu’à la fertilité. Dans les iconographies traditionnelles, l’idée de fertilité s’associe également aux images des cornes et de la double volute. Le symbolisme de la coquille spiralée se rapporte à la Lune et au sexe féminin. Dans de nombreuses cultures, on donne du sens à la coquille, qui par ailleurs évoque aussi la permanence de l’Être dans les changements inhérents à la temporalité…
On trouve également un motif de spirale dont les spires sont striées avec régularité, en analogie avec la coquille de l’escargot, exprimant un principe d’alternance. Alternance du jour et de la nuit, du bien et du mal, dualité dans la vie de l’être humain… La coquille spiralée de l’escargot est également utilisée pour préparer des médecines dont le double usage, remède ou poison, peut se révéler bénéfique ou maléfique…
Les illustrations présentées incluent une représentation d’un serpent lové en spirale, bronze, applique, de la dynastie des Zhou orientaux, datant de 770 à 256 av. J.-C., en Chine ancienne, ainsi qu’une coquille en spirale d’escargot et une poterie avec un motif spiralé en céramique rubanée, datant du Néolithique en France.
La spirale est un symbole présent dans de nombreuses cultures à travers le monde. Elle est souvent associée à la fécondité, à la vie et au mouvement. Dans l’art préhistorique européen, elle était souvent associée à des formes féminines et à des parures. En Afrique, la spirale est associée à la vie, au mouvement des âmes et à la création du monde. Elle est souvent représentée par le serpent lové, symbole de la fécondité et du mouvement cyclique de la vie. Chez les Dogons et les Bambaras du Mali, la spirale entourant une poterie symbolise le verbe originel, la première parole divine du dieu Amma correspondant à l’Esprit et à la semence divine. La spirale est également associée à l’orage, à la pluie fécondante et aux changements lunaires. La double spirale en S symbolise ces changements, ainsi que la fécondité reliée au thème orage-tonnerre-éclair. Enfin, chez les peuples africains, on rencontre des images sexuelles symboliques d’enroulement en spirale autour de la matrice pour la féconder.
Le jeu du serpent Mehen, présent dans les textes sacrés de l’Égypte ancienne, fait référence à la divinité serpent éponyme qui protégeait la barque solaire durant le voyage nocturne et souterrain du dieu Soleil avant sa renaissance à l’aube. Ce jeu est représenté sous la forme d’une table circulaire et tire son nom du mot « Mehen » qui signifie « enrouler » ou « celui qui est enroulé ». En effet, le plateau du jeu est gravé avec une image de serpent dessinant un circuit spiralé, la tête étant au centre et la queue à l’extérieur. Le corps du serpent est divisé en plusieurs cases, et le jeu est joué avec des pions en forme de billes et de lions. Le jeu du serpent Mehen était déjà présent à l’époque prédynastique, avant de disparaître mystérieusement à la fin de l’Ancien Empire. Sa configuration rappelle celle du jeu de l’oie.
Dans la tradition égyptienne, le serpent Atoum-Rê est également présent à la fois au commencement et à la fin des temps. Atoum-Rê est parfois représenté sous la forme d’un serpent à tête de bélier et émerge du Noun, l’océan primordial, avant de créer les dieux, le monde et la vie. Dans le Livre pour Sortir au Jour (dit Livre des Morts), Atoum-Rê explique qu’il survivra à sa création et que, lorsque viendra le temps du retour à l’immensité aquatique originelle, la terre reprendra l’aspect de l’océan primordial et des eaux infinies comme dans son état premier. Atoum-Rê se retransformera en serpent qu’aucun homme ne connaît et qu’aucun dieu ne voit. Les mythes du serpent cosmique « qui demeure » et de l’océan primordial se retrouvent également dans la mythologie de l’hindouisme. Le jeu du serpent Mehen, quant à lui, est représenté sous différentes formes dans les tombes des rois Péribsen et Seneb à Abydos et dans d’autres sites de l’Égypte ancienne.
Ananta, le serpent cosmique lové en spirale, soutient Vishnu dans la mythologie de l’hindouisme. Le nom du serpent, Shesha, signifie « Reste » ou « celui qui demeure », et il est également appelé Ananta, ce qui signifie « Sans fin » ou « Infini ». Sur ses anneaux, Vishnu repose avant l’avènement d’un nouveau cycle cosmique (Kalpa).
Ananta est représenté comme un immense cobra à multiples têtes dont les larges capuchons abritent Vishnu, et symbolise le potentiel d’Être qui demeure après que le monde et ses habitants ont été formés et extraits des eaux primordiales. Le serpent cosmique est le socle sur lequel repose le cosmos et la Terre, qu’il soutient et entoure de ses anneaux.
Lorsqu’un Kalpa s’achève, l’univers n’est pas complètement anéanti, mais plutôt détruit par la danse cosmique du dieu Shiva pour laisser place à une nouvelle ère grâce à Vishnu le préservateur. Entre deux ères cosmiques, le serpent Shesha-Ananta forme un lit de ses anneaux sur lequel repose le dieu Vishnu plongé dans un sommeil yogique. Du nombril de Vishnu surgit un lotus, et du lotus émerge Brahmâ, le dieu créateur qui permet une recréation du monde.
Brahmâ confie à Ananta la responsabilité de soutenir la Terre. Ananta se concentre sur le dharma, la loi sous sa forme la plus noble, qui assure l’ordre du monde. Il est considéré comme le plus sage, le plus vertueux et le plus puissant des serpents mythiques.
Dans le temple de Malinalco au Mexique, sanctuaire du dieu Tlaloc, on peut observer des dalles sculptées en haut relief représentant un motif de spirale et un labyrinthe. Il est possible que ces motifs soient en lien avec le ruissellement des eaux, et ainsi avec la fécondité des terres et des céréales.
Le dieu Tlaloc, également connu sous le nom de « Le Ruisselant », était considéré comme le plus puissant des dieux précolombiens. Les Aztèques lui offraient des sacrifices humains afin d’obtenir sa protection et ses faveurs en matière de pluie, de foudre, de typhons et de champs. Tlaloc jouait un rôle crucial dans la fécondité des terres et des céréales, mais également dans la protection contre les ouragans et certaines maladies. Une dalle sculptée représentant un motif de spirale, trouvée dans le sanctuaire de Tlaloc au temple de Malinalco, témoigne de la richesse de l’art précolombien mexicain.
La spirale d’or, issue du thème éponyme, peut être obtenue à partir d’un rectangle d’or, qui se définit comme ayant un rapport longueur-largeur égal à Phi. Pour cela, on retire un carré correspondant à la largeur du rectangle, ce qui permet d’obtenir un rectangle d’or plus petit qui conserve les mêmes proportions. On peut ensuite répéter cette opération de manière indéfinie, en retirant à chaque fois un carré du plus petit rectangle d’or obtenu. Lorsqu’on relie les côtés opposés des carrés ainsi formés, on obtient une spirale logarithmique, communément appelée spirale d’or. Les longueurs des côtés d’un rectangle d’or sont incommensurables, ce qui signifie que leur rapport ne peut être exprimé par un nombre entier ou une fraction. Cette spirale d’or est présente dans de nombreuses formes de la nature telles que les vignes, les écailles d’ananas ou de pommes de pins, les tournesols, les feuillages et les pétales, ainsi que dans les coquillages.
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