Le nombre d’or est une proportion définie comme le rapport unique entre deux longueurs a et b, où le rapport de la somme des deux longueurs (a + b) à la plus grande (a) est égal au rapport de la plus grande (a) à la plus petite (b). Cela s’écrit comme a/b = (a + b)/a = φ. Il est souvent désigné par la lettre φ ou phi et est lié à l’angle d’or. C’est un nombre irrationnel qui est la solution positive unique de l’équation φ² = φ + 1 et a une valeur approximative de 1,618.
Le nombre d’or est utilisé pour construire un pentagone régulier. Il est lié à la suite de Fibonacci et au corps quadratique ℚ(√5) par ses propriétés algébriques. Il est également présent dans la nature, comme dans certains phyllotaxies et le pavage de Penrose de quasi-cristaux. Il est utilisé dans certaines œuvres et monuments, tels que l’architecture de Le Corbusier, la musique de Xenakis et la peinture de Dalí. L’histoire de cette proportion remonte à l’Antiquité, mais sa première mention connue est dans les Éléments d’Euclide. Au Moyen Âge, Luca Pacioli, un moine italien, a mis en avant cette proportion dans un manuel de mathématique et l’a appelée « proportion divine ». Au cours des XIXe et XXe siècles, elle a acquis une dimension esthétique, donnant naissance aux termes « section dorée » et « nombre d’or« .
Le nombre d’or est considéré comme une théorie esthétique et est justifié par des arguments mystiques. Il est présenté comme une clé importante pour comprendre les structures du monde physique, en particulier pour les critères de beauté et d’harmonie. Il est prétendu qu’il est présent dans les sciences de la nature et de la vie, comme les proportions du corps humain, et dans les arts tels que la peinture, l’architecture ou la musique. Certains artistes, comme le compositeur Xenakis ou le poète Paul Valéry, ont adhéré à une partie de cette vision, soutenue par des livres populaires. Cependant, la science a infirmé ces théories car elles reposent sur des généralisations abusives et des hypothèses inexactes, notamment dans les domaines de la médecine, l’archéologie, les sciences de la nature et de la vie.
Le nombre d’or est une proportion géométrique définie par le rapport entre deux longueurs a et b, où le rapport de (a + b) sur a est égal au rapport de a sur b, ou a/b = (a + b)/a. Il peut être représenté graphiquement en utilisant les propriétés des triangles similaires. Euclide l’a appelé « extrême et moyenne raison » et cela signifie que la droite est coupée en proportion d’or quand la droite entière est au plus grand segment comme le plus grand segment est au plus petit. Le rapport a/b est indépendant des valeurs de a et b, si ces deux nombres sont en proportion d’extrême et de moyenne raison. Le nombre d’or est noté φ et sa valeur approximative est 1,6180339887. Il est également défini comme la solution positive unique de l’équation x² – x – 1 = 0. Les puissances de φ, quel que soit leur exposant, peuvent être écrites sous la forme φn = an + bnφ, où an et bn sont des entiers relatifs qui suivent une suite particulière.
Il est possible de dessiner une proportion d’extrême et de moyenne raison à l’aide d’une règle et d’un compas. La méthode consiste à dessiner un cercle de rayon 1, puis un segment perpendiculaire de longueur 1/2, et enfin un cercle de rayon 1/2. Le segment reliant les deux centres des cercles est de longueur φ. Cela permet de construire un « rectangle d’or », c’est-à-dire un rectangle dont la longueur et la largeur sont en proportion d’extrême et de moyenne raison. Il est également possible de dessiner un rectangle d’or en utilisant un carré de côté b, en traçant un cercle passant par les deux sommets opposés, et en prenant l’intersection avec la droite prolongée comme base. En mettant côte à côte deux rectangles identiques, un en format paysage et l’autre en format portrait, on peut dessiner les contours d’un nouveau rectangle. En retirant un carré de côté b d’un rectangle d’or, il reste un rectangle de longueur b et de largeur a-b, qui est également d’or. Il est possible de répéter ce processus indéfiniment, en dessinant un quart de cercle sur chaque carré pour obtenir une spirale d’or, dont l’équation polaire est: r(θ) = r φ^(2θ/π).
Le nombre d’or est une proportion définie initialement en géométrie comme le rapport unique entre deux longueurs a et b, tel que le rapport de la somme des deux longueurs sur la plus grande soit égal à celui de la plus grande sur la plus petite. Il est lié à l’angle d’or, à la suite de Fibonacci et au corps quadratique ℚ(√5) et est utilisé dans des constructions comme le pentagone régulier. Il est également observé dans la nature et dans certaines œuvres et monuments artistiques. Il est souvent utilisé en tant que théorie esthétique pour comprendre les structures du monde physique, en particulier en termes de beauté et d’harmonie. Il est possible de construire un rectangle d’or en utilisant une règle et un compas, ou en utilisant une spirale logarithmique appelée spirale d’or. Il peut également être utilisé pour dessiner des figures comme l’œuf d’or.
Le pentagone régulier peut être construit en utilisant la proportion d’or. Cela consiste à tracer un cercle de rayon a, puis à trouver un nombre b plus petit que a qui est en proportion d’or avec a. En ensuite en utilisant ces deux valeurs pour tracer deux cercles supplémentaires de rayons a+b et b, les points d’intersection de ces cercles avec le cercle principal définissent les cinq points d’un pentagone. La figure formée par les diagonales de ce pentagone, appelée pentagramme, contient également des proportions d’extrêmes et moyennes raisons. Ces proportions peuvent être exprimées à l’aide de triangles isocèles en proportion d’or, appelés triangles d’or, qui peuvent être utilisés pour paver un plan euclidien de manière non périodique dans un pavage de Penrose.
L’histoire du nombre d’or est un sujet qui suscite des débats parmi les historiens. Certains considèrent que c’est lorsque cette valeur a fait l’objet d’une étude spécifique qu’elle a commencé à être considérée comme telle. D’autres affirment qu’il suffit qu’une figure géométrique contenant au moins une proportion calculée à l’aide du nombre d’or existe pour qu’on puisse parler de son origine. Il est difficile de déterminer avec certitude l’origine du nombre d’or en raison de l’absence de documents d’époque. Certaines hypothèses avancent que les Pythagoriciens connaissaient déjà ce nombre et l’utilisaient pour construire des figures géométriques régulières.
L’histoire du nombre d’or est ancienne mais il n’y a pas de preuve certaine de son origine. Certains historiens pensent qu’il est lié à l’étude spécifique de cette valeur, d’autres croient qu’il est lié à une figure géométrique qui contient au moins une proportion calculée à l’aide du nombre d’or. Les Pythagoriciens ont probablement joué un rôle important dans la découverte du nombre d’or, car ils connaissaient déjà une construction du pentagone à l’aide de triangles isocèles.
L’approche arithmétique du nombre d’or a été initialement bloquée par le préjugé pythagoricien qui voulait que tout nombre soit rationnel. Les premières preuves de son caractère irrationnel ont probablement été découvertes au VIe siècle av. J.-C. et les mathématiciens grecs ont découvert des algorithmes pour en approximer la valeur. Plus tard, Héron d’Alexandrie a poussé cette démarche plus loin en utilisant les tables trigonométriques de Ptolémée.
Le texte décrit comment le nombre d’or, une proportion géométrique, a été défini par Euclide dans son livre « Les Éléments » et comment il est lié aux problèmes géométriques déjà résolus par les Pythagoriciens. Il est également mentionné que Platon aurait peut-être étudié le nombre d’or en tant que sujet en soi. Certains historiens croient que l’histoire du nombre d’or a commencé lorsque cette valeur a été étudiée de manière spécifique, tandis que d’autres pensent qu’il suffit de déterminer une figure géométrique contenant au moins une proportion calculée à l’aide du nombre d’or.
Les mathématiques arabes ont apporté une nouvelle perspective sur le nombre d’or en mettant en avant ses propriétés mathématiques dans des équations du second degré, plutôt que ses propriétés géométriques. Les mathématiciens comme Al-Khawarizmi et Abu Kamil ont proposé des problèmes liés à la division de longueurs en utilisant le nombre d’or, mais n’ont pas explicitement fait le lien avec la proportion d’extrême et moyenne raison. Leonardo Pisano, connu sous le nom de Fibonacci, a introduit ces équations en Europe, en montrant clairement la relation entre ces nombres et la proportion d’Euclide. Cependant, il n’a pas fait le lien avec le nombre d’or. Enfin, en 1260, Campanus a démontré l’irrationalité de ce nombre à travers une descente infinie qui peut être visualisée dans la spirale d’or.
Le nombre d’or est considéré comme ayant une origine ancienne par les historiens, mais l’absence de documents concrets empêche une connaissance certaine de ses origines. Il a été étudié par les Pythagoriciens pour sa relation avec le pentagone, l’icosaèdre et le dodécaèdre régulier. Les mathématiques arabes ont apporté une perspective différente sur ce nombre en le considérant comme une solution d’équations du second degré. Luca Pacioli, à la fin du xve siècle, a écrit un livre intitulé La divine proportion, dans lequel il a traité le nombre d’or en se concentrant sur ses propriétés mystiques plutôt que mathématiques.
Le livre de Luca Pacioli intitulé « La divine proportion » met en avant l’aspect mystique du nombre d’or plutôt que ses propriétés mathématiques. Il présente l’incommensurabilité de ce nombre comme étant similaire à celle de Dieu, qui ne peut être défini ou compris par les mots. Pacioli encourage les amateurs de philosophie, de perspective, de peinture, de sculpture, d’architecture, de musique et d’autres disciplines mathématiques à étudier cette proportion secrète et admirable. Cependant, il ne détaille pas comment cette proportion s’applique dans les domaines pratiques, et se concentre sur les proportions de Vitruve, qui correspondent à des fractions d’entiers, choisies pour ressembler au corps humain. Les architectes de la Renaissance n’ont pas utilisé cette proportion dans leurs constructions.
Les mathématiciens de l’époque ont étudié la relation entre le nombre d’or et les équations polynomiales. Gerolamo Cardano et Raphaël Bombelli ont montré comment calculer le nombre d’or à l’aide d’équations de second degré. Une note manuscrite datant du début du xvie siècle a révélé la connaissance de la relation entre la suite de Fibonacci et le nombre d’or. Ce résultat a été plus tard redécouvert par Johannes Kepler et Albert Girard. Kepler était fasciné par le nombre d’or qu’il considérait comme l’un des deux grands trésors de la géométrie, l’autre étant le théorème de Pythagore.
Au XVIIIème siècle, le nombre d’or et les polyèdres réguliers sont considérés comme une branche inutile de la géométrie. Cependant, au XIXème siècle, Jacques Binet démontre une formule liée au nombre d’or et à la suite de Fibonacci. Les travaux se concentrent ensuite sur cette suite, avec des propriétés subtiles découvertes par Édouard Lucas. Les théories liées à l’utilisation du nombre d’or dans le Parthénon sont polémiques et nécessitent des conventions spécifiques. Les termes « section dorée » et « nombre d’or » apparaissent dans une réédition d’un livre de mathématiques élémentaires écrite par Martin Ohm entre 1826 et 1835, mais l’origine de ces termes reste inconnue.
Au milieu du XIXe siècle, l’intérêt pour le nombre d’or est relancé par les travaux du philosophe allemand Adolf Zeising. Il considère le nombre d’or comme une clé pour comprendre de nombreux domaines, tels que l’architecture, la peinture, la musique, la biologie et l’anatomie. Il publie également un article sur le pentagramme, qu’il considère comme la manifestation la plus évidente de cette proportion. Cependant, malgré une approche scientifique douteuse, sa théorie a un franc succès. En France, les dimensions des bâtiments célèbres comme le Louvre et l’Arc de triomphe sont mesurées avec précision et Charles Henry, un érudit français, associe le nombre d’or à une théorie de la couleur et des lignes, influençant les peintres comme Seurat et Pissarro. Cependant, il finit par abandonner définitivement l’idée de quantifier la beauté en 1895.
Au cours de la première moitié du XXe siècle, l’intérêt pour le nombre d’or ne cesse de croître. Le prince roumain Matila Ghyka en devient un fervent défenseur, reprenant les thèses de ses prédécesseurs et les généralisant à l’architecture et à d’autres domaines. Il soutient que le nombre d’or est une clé pour comprendre de nombreux aspects de la nature, tels que les coquillages et les plantes. Ghyka se réfère également à la philosophie pythagoricienne pour expliquer l’absence de traces écrites sur le nombre d’or dans les textes anciens, en suggérant que cela pourrait être dû au culte du secret. Ces idées sont reprises par les mouvements de pensée ésotériques, qui considèrent le nombre d’or comme une preuve de l’existence d’une connaissance occulte perdue.
Au milieu du XXe siècle, l’intérêt pour le nombre d’or a augmenté grâce aux travaux du philosophe allemand Adolf Zeising. Il considérait le nombre d’or comme une clé pour comprendre de nombreux domaines, tels que l’architecture, la peinture et la musique. Malgré une approche scientifique douteuse, sa théorie a connu un grand succès. Cependant, certains ont utilisé le nombre d’or pour justifier des idées extrêmes de supériorité raciale, encore présentes aujourd’hui. Certains artistes et intellectuels ont également éprouvé une fascination pour le nombre d’or, utilisant ses propriétés mathématiques pour leurs œuvres.
Le peintre Salvador Dalí fait référence au nombre d’or et à sa mythologie dans sa peinture, par exemple dans un tableau intitulé « Le Sacrement de la dernière Cène. Cependant, en termes mathématiques, l’intérêt pour le nombre d’or a diminué au cours des années, sauf dans la revue Fibonacci Quarterly. Cependant, le nombre d’or reste une clé pour comprendre certains sujets scientifiques, comme la question de la phyllotaxie, liée à la spirale que l’on trouve dans certains végétaux. Cette question a suscité de nombreux débats au cours des siècles précédents, avec des avis divergents, mais finalement confirmé par des expériences menées par des scientifiques comme Alan Turing et Stéphane Douady et Yves Couder. En résumé, la présence du nombre d’or dans le monde végétal ne semble ni fortuite ni subjective.
Phidias, en collaboration avec Ictinos et Callicratès, est le créateur et le responsable de la construction du Parthénon, un temple dédié à Athéna construit entre 447 et 432 avant JC sur l’Acropole d’Athènes. Il est architecte, sculpteur et peintre. Le temple est encadré dans un rectangle d’or et les proportions de ses dimensions correspondent à celles du nombre d’or. Il est à noter que de nombreux détails ou lignes du Parthénon coïncident avec les sections d’or ou les points d’or du rectangle, cependant il n’y a pas de preuve que le nombre d’or a été utilisé pour sa construction.
L’artiste a intégré les mathématiques dans l’art, notamment en utilisant le fameux « Homme de Vitruve » comme exemple. Ce dernier, en célébrant la perfection du corps humain, révèle sa correspondance avec le nombre d’or. Cette proportion divine se retrouve également dans des phénomènes naturels tels que les mouvements des vagues, les courbes des troncs d’arbres, ou encore le nombre de pétales des marguerites. Cela a conduit Leonardo da Vinci, génial artiste, à se demander si l’être humain n’était pas finalement la création divine la plus complexe et la plus aboutie. Certains y verraient même un signe de l’instrument de Dieu.
Le célèbre architecte Le Corbusier, de son vrai nom Charles-Édouard Jeanneret-Gris, a utilisé le nombre d’or dans ses projets, allant de l’United Nations Building (ONU) à New York à la Cité radieuse de Marseille. Il a également développé le Modulor, un système de proportions basé sur les dimensions du corps humain, utilisé en architecture. Ce système permet d’améliorer l’harmonie des constructions d’habitations et accélère les processus de construction. Si vous souhaitez en savoir plus sur le Modulor, je vous invite à consulter l’article « Le Cordubiser – Le Modulor » sur le site Index Grafik.
La peinture à l’huile « Le Sacrement de la dernière cène » réalisée par Dali en 1955 mesure 270 cm x 168,3 cm. Les proportions de ce tableau correspondent au nombre d’or. Il est également possible de remarquer un dodécaèdre monumental présent dans la scène sacrée.
En étudiant comment les feuilles sont disposées sur les tiges des plantes, ainsi que la disposition des fruits et des fleurs (phyllotaxie en botanique), les botanistes ont découvert que la suite de Fibonacci se retrouve dans la structure de certains végétaux.
Il a été découvert que les végétaux à structures spiralées ou hélicoïdales ont une feuille par nœud et que le nombre de feuilles sur chaque plan horizontal correspond aux nombres de la suite de Fibonacci. Les botanistes ont également remarqué que les feuilles s’écartent à un angle constant, appelé angle de divergence. Cet angle tend vers le nombre d’or pour ces végétaux. Cela permet de réduire les ombres et d’augmenter la lumière et l’espace pour la croissance de chaque feuille.
Il est possible de remarquer que d’autres végétaux présentent des spirales formées par les écailles d’une pomme de pin, les graines d’un tournesol ou les aiguilles d’un cactus ou les « florettes » pyramidales du chou romanesco. Ces spirales sont comptées avec des nombres qui font partie de la suite de Fibonacci. Par exemple, la pomme de pin est constituée de 8 spirales dans un sens et de 13 spirales dans l’autre sens. Les nombres de Fibonacci sont également présents dans la disposition des rameaux sur le pédoncule d’une plante, comme les pommiers, les poiriers et les chênes.
La nature est un grand mystère protégé par ses gardiens contre ceux qui pourraient l’utiliser de manière irrespectueuse. Les éléments de cette tradition sacrée sont révélés aux êtres humains respectueux et vertueux qui ont ouvert leur vision et leur ouïe. Pour comprendre cette sagesse, il est nécessaire de faire preuve d’ouverture, de sensibilité, d’enthousiasme, de bienveillance, de gratitude et d’un désir ardent d’humilité pour comprendre la signification profonde des merveilles de la nature qui nous entourent chaque jour.
Il est triste de constater que de nombreuses personnes traversent la vie de manière passive et engourdie, ne voyant pas la véritable beauté du monde, n’entendant pas les vrais sons harmoniques de l’univers. Ils restent insensibles à l’ordre exquis de la nature qui se déploie devant eux. La compréhension du nombre d’or, le grand secret de la nature, est essentielle pour notre parcours en tant qu’êtres humains non initiés, prisonniers de notre propre être, afin de nous libérer et de nous reconnecter à la mère nature et d’écouter les vibrations et les besoins de notre âme.
Le Nombre d’Or est considéré comme la Géométrie Sacrée, qui explique comment les choses sont agencées dans la nature, des coquillages aux corps humains. Il est à la fois complexe et fascinant. Les fondements de cette géométrie naturelle peuvent être compris grâce à des explications mathématiques. Depuis la culture égyptienne, babylonienne, indienne ou chinoise, l’étude secrète des nombres, de l’harmonie, de la géométrie et de la cosmologie remonte à la nuit des temps.
Le Nombre d’Or est considéré comme divin et spirituel. La conscience est l’un des grands mystères de l’humanité. Elle peut émerger à travers une résonance avec l’ensemble divin et les parties de la nature, harmonisée de manière exquise par les propriétés fractales uniques du Nombre d’Or, permettant des états de conscience plus inclusifs. Il est possible que la conscience émerge à travers la mécanique quantique des microtubules (bases structurelles et mobiles des cellules) et que la conscience réside dans la géométrie même, dans les proportions d’Or de l’ADN qui montre une résonance avec Phi. C’est ainsi que les chamans en état de conscience sacramentale peuvent voir des joyaux géométriques près de la gueule des serpents.
Selon Bouddha, le corps est un œil, et en utilisant les propriétés fractales du Nombre d’Or, il est possible de ressentir une identification consciente avec la conscience de l’univers. Le Nombre d’Or est considéré comme un outil spirituel qui ajoute une dimension spirituelle à toutes choses, et invite à explorer les mystères et la connaissance. Il est considéré comme la Pierre Philosophale, offrant une vision et une compréhension inédites. Présent dans tous les aspects de l’univers, de l’infiniment petit à l’infiniment grand, il unifie les parties et l’ensemble dans une symphonie harmonieuse de forme.
Le Nombre d’Or est un élément clé de notre existence, il nous permet de ressentir les étapes de plus en plus importantes de l’auto-identification et de la réalisation de notre unité. Il est crucial pour l’humanité de se reconnecter à ce code fondamental de la nature et de s’y aligner, améliorant notre monde et nos relations à travers les standards de l’excellence et des arrangements harmonieux. Comme la nature le fait naturellement, notre but est de transformer notre monde pour qu’il devienne cet état divin de beauté et de paix symbiotique qu’il devrait être.
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